[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (2) Algebra বিভাগের অধীনে 〈6〉Series and Sequences চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈2.6.a〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]
〈2.6.a〉সমান্তর এবং গুণোত্তর ধারা
FORMULAS
Formulas are another means by which the your ability is tasted to work with unknowns. Formulas are specific equations that can involve multiple variables. There are [latex]3[latex] major types of Formula problems
(1) Plug-in Formulas
(2) Strange Symbol Formulas
(3) Sequence Formulas
Plug In Formulas
একেবারে মৌলিক ধরণের সমস্যাগুলোকে সরাসরি plug-in পদ্ধতিতে solve করা যায়। প্রশ্নকর্তা একটি formula দিয়ে দেন এবং তার কয়েকটি variable এর মধ্যে একটি বাদে সবগুলো বলে দিয়ে ওই একটির মান জানতে চান। সরাসরি plug-in পদ্ধতিতে দ্রুত সমাধান করা যায়।
For example:
একজন কৌতুক অভিনেতার comedic aptitude (C) কে এই formula দিয়ে হিসাব করা হয়ঃ [latex]QL/J[latex] | The formula for determining an individual’s, [latex]C[latex], on a given day is defined as [latex]QL/J[latex].
Where [latex]J[latex] = the number of jokes told,
[latex]Q[latex] = the overall joke quality on a scale of 1 to 10, and
[latex]L[latex] = the number of individual laughs generated.
If Nicole told [latex]12[latex] jokes, generated [latex]18[latex] laughs, and earned a comedic aptitude of [latex]10.5[latex], what was the overall quality of her jokes?
প্রশ্নমতে,
[latex]C=QL/J=c[latex]
Or, [latex]10.5=18Q/12[latex]
So, [latex]Q=7[latex] (Ans.)
Notice that you will typically have to do some rearrangement after plugging in the numbers, in order to isolate the desired unknown. The actual computations are not complex. What makes Formula problems tricky is the unfamiliarity of the given formula, which may seem to come from “out of the blue”, অর্থাৎ একেবারে অপ্রত্যাশিত ভাবে। Do not be intimidated. Simply write the equation down, plug in the numbers carefully, and solve for the required unknown.
Strange Symbol Formulas
পরীক্ষায় মাঝে মাঝে নকশা বা চিহ্নযুক্ত গাণিতিক সমস্যা দেওয়া হয়, যা একটি function হিসাবে প্রকাশিত থাকে। এসব strange symbol এর সাহায্যে ফাংশনের অংকগুলো সমাধান করতে হয়।
সতর্কতাঃ the symbol is IRRELEVANT. All that is important is that you carefully follow each step in the procedure that the symbol indicates.
বিশেষ টিপসঃ সাংকেতিক চিহ্নযুক্ত ফাংশনের অংক সমাধান করার সময় ভেরিএবল এক্স, ওয়াই এভাবে উচ্চারণ না করে “প্রথমটা”, “দ্বিতীয়টা” এভাবে উচ্চারণ করে নিজেকে শোনান, ফলে মূল ফাংশনের অনুকরণে কিভাবে প্রতিস্থাপিত ভেরিএবলগুলোর ফাংশন পরিবর্তিত হয় সেটা আরো ভালো ভাবে বুঝতে পারবেন। এ ক্ষেত্রে ভুল হবার সম্ভাবনা কম থাকে।
Practice:
A function is given as [latex]W\Psi F={ \sqrt { w } }^{ F }[latex] What is the value of [latex]4\Psi 9[latex].
বিশেষ সতর্কতাঃ Always perform the procedure inside the parentheses FIRST. A formula is given as: [latex]W[latex]∅[latex]F[latex]=[latex]{ \sqrt { F } }^{ w }[latex] তাহলে [latex]3[latex]∅[latex]16[latex] ফাংশনটির মান কত হবে নির্ণয় করুন।
সমাধান: আমরা [latex]{ \sqrt { F } }^{ w }[latex] ফাংশনটিকে মুখে উচ্চারণ করি এভাবেঃ “দ্বিতীয়টার রুট নাও, প্রাপ্ত সংখ্যার পাওয়ার বানাও প্রথমটা”।
কাজেই লেখা যায়, [latex]3[latex]∅[latex]16[latex]=[latex]{ \sqrt { 16 } }^{ 3 }[latex]
এখানে মনে রাখতে হবে যে, সব সময় ব্রাকেট এর মধ্যে যা থাকে সেটার হিসাব আগে শেষ করতে হয়। কাজেই আমরা [latex]16[latex] এর রুট আগে বের করবো, তার পরে তাকে [latex]3[latex] পাওয়ারে নেবো। এভাবে আমরা পেলাম 64। এ ধরণের সমস্যার মধ্যে স্কয়ার রুট নিলে নেগেটিভ মান পাওয়ার বিষয়টিকে আমরা অগ্রাহ্য করি, কারণ তা না হলে বিষয়টা অহেতুক অনেক জটিল হয়ে যাবে।
কুইজঃ
উপরের ফাংশন অনুসারে [latex]4[latex]∅[latex](3[latex]∅[latex]16)[latex] এর মান কত?
Sequence Formulas
A sequence is a collection of numbers in a set order. The order is determined by a RULE. কিছু উদাহরণ দেওয়া হলো
Defining Rules for Sequences
Sequence এ সব সময়ই আমাদের একটি rule দেওয়া থাকবে যার সাহায্যে আমাদেরকে উক্ত sequence-র মধ্যে একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাকে বের করতে হবে। এক্ষেত্রে rule টা আগে বুঝতে হবে। স্টুডেন্টরা অনেক সময় এ ধরণের problem দেখেই সরাসরি অঙ্ক করা শুরু করে দেয় এবং rule বের করার বিষয়টা অগ্রাহ্য করে। ফলে উত্তর অনেক সময়ই ভুল হয়। For example:
If [latex]S7=5[latex] and [latex]S8=6[latex], then what is [latex]S9[latex]?
প্রদত্ত তথ্য দেখে মনে হচ্ছে যে সেকুয়েন্সটি এক এক করে বাড়লে তার মান ও এক এক করে বাড়বে। কাজেই [latex]S9[latex] এর মান হবে পূর্বের [latex]S8[latex] এর চেয়ে এক বেশি, অর্থাৎ [latex]7[latex]। However, this deduction is NOT valid, because we were not given the rule. The sequence might be [latex]5, 6, 7[latex],… OR [latex]5, 6, 28[latex],… Without the rule, there is no way to be sure. কাজেই, সবার আগে আমাদের rule টি বের করতে হবে.
Linear Sequence or Arithmetic Sequence
This is a very common type of sequence. In these sequences, the difference between successive terms is always the same. The direct definition of a linear sequence is [latex]S=kn+x[latex] where [latex]k[latex] is the constant difference between successive terms and [latex]x[latex] is some other constant. [latex]n[latex] is the term number. 
The first four terms of a sequence are [latex]16, 20, 24[latex], and [latex]28[latex], in that order. If the difference between each successive term is constant, what is the rule for this sequence?
Solve, Because we know that the difference between successive terms is the same, we know the sequence is linear. The difference between each term is 4, so this sequence must be in the form 4n + x. We can find the value of x by using any of the terms in the sequence. In this example, the first term in the sequence (n = 1) has a value of 16, so [latex]4(1)+x=16[latex].
Therefore, [latex]x=12[latex].
Exponential or Geometric Sequence
These sequences are of the form [latex]Sn=x*({ k }^{ n })[latex] where [latex]x[latex] and [latex]k[latex] are real numbers. Each term is equal to the previous term times a constant [latex]k[latex]. (In contrast, in a linear sequence, each term is equal to the previous term plus a constant [latex]k[latex], as we saw earlier.)
Quiz:
The first four terms of a sequence are [latex]20, 200, 2,000[latex], and [latex]20,000[latex], in that order. If each term is equal to the previous term times a constant number, what is the rule for this sequence?
Solve, Because we know that each term is equal to the previous term times a constant number, we know the sequence is exponential. Each term is [latex]10[latex] times the previous term, so this sequence must be in the form [latex]x({ 10 }^{ n })[latex]. We can find the value of [latex]x[latex] by using any of the terms in the sequence. In this example, the first term in the sequence ([latex]n=1[latex]) has a value of [latex]20[latex],
So, [latex]x({ 10 }^{ 1 })=20[latex].
Therefore, [latex]x=2[latex].
[latex]S1=2*{ 10 }^{ 1 }[latex]; [latex]S2=2*{ 10 }^{ 2 }[latex] etc.
More complicated issues
Some sequences are easier to look at in terms of patterns, rather than rules. For example, consider the following:
If [latex]Sn={ 3 }^{ n }[latex], what is the units digit of [latex]S65[latex]?
প্রশ্ন থেকে এটা পরিষ্কার যে আমাদের পক্ষে [latex]S65[latex] এর মান বের করে উত্তর খুঁজতে যাওয়া সম্ভব নয়। কাজেই বিশেষ কৌশলের আশ্রয় নিতে হবে।
বরং নীচের টেবিলের দিকে নজর দেওয়া যাক।
[latex]3[latex] কে যতই পাওয়ারে ওঠানো যাক না কেন, শেষ ডিজিটটি [latex]3,9,7,1[latex] এভাবেই পর্যায়ক্রমে পুনরাবৃত্ত হতে থাকবে (কথাটি মনে রাখবেন)। এবার [latex]65[latex] এর দিকে নজর দেওয়া যাক। এর মধ্যে এই চারটি সংখ্যার মোট [latex]16[latex] বার পুনরাবৃত্তি বা রিপিট ঘটেছে, (কারণ [latex]4[latex] গুণ [latex]16=64[latex], যা [latex]65[latex] এর নীচে)। কাজেই [latex]65[latex] তম সংখ্যাটি হবে উপরের টেবিলের প্রথম সংখ্যার অনুরূপ। অর্থাৎ তার শেষ ডিজিটটি হবে [latex]3[latex]।
