[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (3) Number Properties বিভাগের অধীনে 〈6〉Divisibility, Last digit চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈3.6.a2〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]
Rule:
কোন সংখ্যাকে ([latex]p[latex]) আরেকটি ইন্টিজার ([latex]d[latex]) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ বা remainder হিসাবে [latex]r[latex] এর মান সর্বনিম্ন [latex]0[latex] এবং সর্বোচ্চ [latex](d-1)[latex] পর্যন্ত হবে। [latex]r[latex] এর মান [latex]d[latex] বা তার বড় হতে পারবে না।
উদাহরণ স্বরূপ, কোন সংখ্যাকে [latex]13[latex] দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ [latex]0[latex] থেকে [latex]12[latex] পর্যন্ত যে কোন সংখ্যা হতে পারে, কিন্তু কিছুতেই [latex]13[latex] বা তার বেশি হবে না।
Rule:
যদি কোন সংখ্যাকে ([latex]p[latex]) আরেকটি ইন্টিজার ([latex]d[latex]) দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ বা remainder হিসাবে [latex]r[latex] পাওয়া যায়, তাহলে তাদের সম্পর্ক হবেঃ
[latex]p=i\times d+r\quad \quad \quad \quad \cdots \cdots \cdots (1)[latex]
যেখানে [latex]i[latex] হলো যে কোন পূর্ণসংখ্যা।
বিষয়টা উদাহরণ দিয়ে দেখালে বুঝতে সুবিধা হবে। কোন সংখ্যাকে [latex]4[latex] দিযে ভাগ করলে যদি [latex]2[latex] ভাগশেষ পাওয়া যায় তাহলে সেটি হবে [latex]i\times 4+2[latex], সেই হিসাবে [latex]6, 10, 14, 18[latex] … ইত্যাদি সবগুলো সংখ্যাই এই তালিকায় পড়ে।
দশমিকযুক্ত সংখ্যাগুলো যেভাবে তৈরী হয়
এবার একটু ভিন্ন দিকে যাই। কোন সংখ্যা ইন্টিজার বা পূর্ণসংখ্যা হলে আমরা বুঝি যে তার পরে শূন্য পরিমাণ দশমিকযুক্ত অংশ রয়েছে। উদাহরণ স্বরূপ, [latex]6[latex] মানে [latex]6.0[latex], [latex]7[latex] মানে [latex]7.0[latex] ইত্যাদি। কিন্তু [latex]6[latex] এবং [latex]7[latex] এর মাঝামাঝি কোন সংখ্যা প্রকাশ করতে হলে দশমিকের সাহায্য নিতে হয়, যাকে একই সাথে দশমিকযুক্ত সংখ্যা অথবা অনুপাত হিসাবেও প্রকাশ করা যায়। উদাহরণ স্বরূপ, [latex]6.2[latex] সংখ্যাটি প্রকাশ করে যে এটি [latex]6[latex] অপেক্ষা [latex]0.2[latex] পরিমাণ বেশি। অন্য কথায় [latex]6+0.2[latex]
এবারে উপরের ([latex]1[latex]) নং সমীকরণকে [latex]d[latex] দিয়ে ভাগ করলে পাই
[latex]\frac { p }{ d } =i+\frac { r }{ d } \quad \quad \quad \quad \cdots \cdots \cdots (2)[latex]
সুতরাং, যদি অঙ্কের মধ্যে বলা থাকে যে কোন সংখ্যাকে [latex]d[latex] দিয়ে ভাগ করলে [latex]r[latex] অবশিষ্ট থাকে, তাহলে ওই পুরো সংখ্যাটিকে [latex]d[latex] দিয়ে ভাগ করলে যে দশমিকযুক্ত সংখ্যা পাওয়া যাবে, সেই দশমিকের পরের অংশটুকুকে [latex]\frac { r }{ d }[latex] হিসাবে প্রকাশ করা যাবে। যেমন, [latex]18[latex] সংখাটিকে [latex]4[latex] দিয়ে ভাগ করলে [latex]2[latex] ভাগশেষ পাওয়া যায়। তাহলে [latex]18[latex] কে [latex]4[latex] দিয়ে ভাগ করলে যে সংখ্যাটি পাবেন তার দশমিকের পরের অংশটুকু হবে [latex]\frac {2}{4}[latex] এর সমান বা [latex]0.5[latex]
Practice 1
The ratio of [latex]a[latex] to [latex]b[latex] is [latex]205.8[latex]. When [latex]a[latex] is divided by [latex]b[latex], a remainder of [latex]4[latex] is obtained. Find the value of [latex]a[latex].
Solution
এখানে বলা আছে,
[latex]\frac { a }{ b } =205.8\quad \quad \quad \quad \cdots \quad (3)[latex]
আবার [latex]a[latex] কে [latex]b[latex] দিয়ে ভাগ করলে [latex]4[latex] ভাগশেষ থাকে বলে,
[latex]a=ib+4\quad \quad \quad \quad \cdots \quad (4)[latex]
যেখানে i যেকোন পূর্ণসংখ্যা।
উভয় পক্ষকে [latex]b[latex] দিয়ে ভাগ করে পাওয়া যায়,
[latex]\frac { a }{ b } =i+\frac { 4 }{ b } \\ \Rightarrow \quad 205.8=i+\frac { 4 }{ b } \\ \Rightarrow \quad 205+0.8=i+\frac {4}{b}[latex]
উপরের আলোচনা থেকে এটা ক্লিয়ার যে [latex]\frac { 4 }{ b }[latex] এর মান হবে [latex]0.8[latex] এর সমান, অর্থাৎ [latex]b=5[latex] হবে।
সুতারাং, উপরের [latex](3)[latex] থেকে [latex]a=205.8\times 5=1029[latex]
Practice 2
The number [latex]m[latex] yields a remainder [latex]p[latex] when divided by [latex]14[latex] and a remainder [latex]q[latex] when divided by [latex]7[latex]. If [latex]p=q+7[latex], then which one of the following could be the value of [latex]m[latex]?
(A) 27
(B) 28
(C) 29
(D) 30
(E) 31
প্রথম পদ্ধতিঃ
সংখ্যাগুলো যেহেতু ছোট ছোট তাই আমরা সরাসরি ভাগ করেই অগ্রসর হতে পারি। একেকটা অপশন ধরুন আর সেটাকে 14 আর 7 দিয়ে আলাদ করে ভাগ করে দেখুন প্রাপ্ত দুই ভাগশেষ একটা আরেকটার চেয়ে 7 পরিমাণ বড় হয় নাকি।
(A) 27 কে ভাগ করে ভাগশেষদ্বয় 13 আর 6; এদের ব্যবধান 7, কাজেই মিলে গেছে!!
(B) 28 কে ভাগ করে ভাগশেষদ্বয় 0 আর 0; এদের ব্যবধান 7 নয়, কাজেই বাদ।
(C) 29 কে ভাগ করে ভাগশেষদ্বয় 1 আর 1; এদের ব্যবধান 7 নয়, কাজেই বাদ।
(D) 30 কে ভাগ করে ভাগশেষদ্বয় 2 আর 2; এদের ব্যবধান 7 নয়, কাজেই বাদ।
(E) 31 কে ভাগ করে ভাগশেষদ্বয় 3 আর 3; এদের ব্যবধান 7 নয়, কাজেই বাদ।
দ্বিতীয় পদ্ধতি:
এই পদ্ধতিটা একটু মাথা খাটানো উপায়ে করা, যার মাধ্যমে সংখ্যাগুলো বলে দেওয়া না থাকলেও আমরা সম্ভাব্য সংখ্যাগুলো বের করে ফেলতে পারতাম।
যেহেতু [latex]m[latex] কে [latex]14[latex] দিয়ে ভাগ করলে [latex]p[latex] অবশিষ্ট থাকে, আমরা লিখতে পারি, [latex]m=14K+p[latex] যেখানে [latex]K[latex] হলো যেকোন পূর্ণসংখ্যা।
যেহেতু [latex]m[latex] কে [latex]7[latex] দিয়ে ভাগ করলে [latex]q[latex] অবশিষ্ট থাকে, আমরা লিখতে পারি, [latex]m=7L+q[latex] যেখানে [latex]L[latex] হলো যেকোন পূর্ণসংখ্যা। [latex]L[latex] এবং [latex]K[latex] একই বা ভিন্ন হতে পারে তা জেনে আমাদের এই মুহূর্তে কোন লাভ নেই। চলুন অঙ্কের বাড়তি তথ্যের দিকে চলে যাই। বলা আছে, [latex]p=q+7[latex]; সুতরাং আমরা নীচের দুটো সম্পর্ক বের করে ফেলতে পারি।
[latex]m-p=14K[latex]
[latex]m-p= 7L-7[latex]
Or, [latex]L=2K+1[latex]
এবার [latex]q[latex] এবং [latex]K[latex] এর মান ইচ্ছা মতো বসাবেন আর [latex]m[latex] এর মান ইচ্ছামত পাবেন, যার সবগুলোই উপরের শর্ত মেনে চলে। যেমন,
লক্ষ্য করুন, [latex]22[latex] এর নীচে কোন সংখ্যা এই শর্ত মানে না; [latex]27[latex] এর পরে একটা জাম্প দিয়ে পরের সংখ্যা [latex]36[latex] শুরু হয়েছে। আবার [latex]14[latex] দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ [latex]p[latex] হয় বলে [latex]p[latex] এর মান সর্বোচ্চ [latex]13[latex] হয়েছে। একই কারণে [latex]7[latex] দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল [latex]q[latex] হয় বলে এর মান সর্বোচ্চ [latex]6[latex] হয়েছে। তবে এখানে মনে রাখতে হবে, [latex]q[latex] এর মান [latex]0[latex] হলেও শর্তটি পূরণ হয়, যা আলোচনায় অযথা বিভ্রান্তি এড়ানোর স্বার্থে আমি ইনক্লুড করিনি।
যে কোন আলোচনা বা প্রশ্ন গ্রুপে করুন, আমরা উত্তর দেবার চেষ্টা করবো।
