[Math Center Home]

[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (1) Geometry বিভাগের অধীনে (2) Triangle চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈1.2.b〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]

〈1.2〉(b) বিভিন্ন ধরণের ত্রিভূজ এবং তাদের ক্ষেত্রফল

Median বা মধ্যমা

ত্রিভুজের যে কোন শীর্ষ থেকে বিপরীত বাহুর মধ্যবিন্দুর যোজক রেখাকেই বলে মেডিয়ান বা মধ্যমা। It is the line segment joining any vertex of a triangle with the midpoint of the opposite side.

1
মধ্যমা বের করার জন্যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুর মধ্যবিন্দু ও বিপরীত কৌণিক শীর্ষ যোগ করতে হবে। এভাবে তিনটি মধ্যমা পাওয়া যাবে, যারা একটি বিন্দুতে পরষ্পরকে ছেদ করে, যাকে উক্ত ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র বা center of gravity বলে। উপরের ত্রিভুজে AD , BE এবং CF মধ্যমা তিনটি ভরকেন্দ্র G তে ছেদ করেছে।
ভরকেন্দ্র যে কোন মধ্যমাকে 1 : 2 অনুপাতে বিভক্ত করে। কাজেই, DG : AG = 1 : 2 .
A median divides any triangle into two smaller triangles having equal area, which is equal to half of the original one. In the figure below, the triangle has an area of 12 , and AD is the median.

11
যদি ত্রিভুজটি সমদ্বিবাহু (অথবা সমবাহু) হয় তাহলে সমান বাহুদ্বয় দ্বারা উৎপন্ন কোণ থেকে অঙ্কিত মধ্যমা বিপরীত বাহুর উপরে লম্ব হবে। The median of a triangle will be perpendicular on the opposite side only when the sides that form the vertex are equal. This means, the triangle will be either equilateral or isosceles. Look at the figure below, the median in case of an isosceles:

1Tips: If the median of a triangle is NOT perpendicular on the opposite side, the sides that form the vertex are not equal. Look at the figure below. The median is AD , which is not perpendicular on BC :

1

মজার বিষয়

লক্ষ করে দেখবেন, সমবাহু ত্রিভুজকে নানা ভাবে সাজিয়ে বেশ কিছু regular কাঠামো পাওয়া যায়। যেমনঃ

(ক) দুইটি সমবাহু ত্রিভুজ থেকে একটি রম্বস পাওয়া যায়।

1সতর্কতাঃ বিপরীতক্রমে আপনি যদি একটি রম্বসকে কর্ণ বরাবর আলাদা করেন, তাহলে দুটি সমবাহু ত্রিভুজ নাও পেতে পারেন (তবে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ পাবেনই)।

(খ) You can combine FOUR equilateral triangles to make a bigger equilateral triangle. চারটি সমবাহু ত্রিভুজ এভাবে সাজালে একটি বড় সমবাহু ত্রিভুজ পাওয়া যায়। বিপরীতক্রমে, কোন সমবাহু ত্রিভুজের তিনটি বাহুর মধ্যবিন্দু যোগ করলে যে চারটি ছোট ত্রিভুজ পাওয়া যায় তারা সবাই সর্বসম এবং এদের ক্ষেত্রফল মূল ত্রিভুজের এক চতুর্থাংশ।

1পরীক্ষায় প্রায়শঃই স্টুডেন্টরা বিপাকে পড়েন এ ধরণের প্রশ্ন দেখে নীচের ছবিতে সমবাহু ত্রিভুজের দুইটি বাহুর মধ্যবিন্দু যোগে সাদা ত্রিভুজটি গঠিত হয়েছে। সাদা অংশ ও স্ট্রাইপ দেওয়া অংশের ক্ষেত্রফলের অনুপাত বের করুন।

1এতক্ষণে নিশ্চয়ই বুঝে গেছেন, কালো অংশের মধ্যে আসলে আরো তিনটা সাদা ত্রিভুজ লুকিয়ে আছে। সুতরাং উত্তর হলো ১:৩।

মন্তব্যঃ সমবাহু ত্রিভুজ হবার দরকার নেই; একই কথা সত্য যে ধরণের ত্রিভুজের ক্ষেত্রেও। নীচের ছবিটি দেখুন।

1(গ) ছয়টি সমবাহু ত্রিভুজ যুক্ত করে একটি সুষম ষড়ভুজ পাওয়া যায়। You can join six equilateral triangles to make this regular hexagon.

1
Now you can easily establish the formula of the area of a regular hexagon: {6}\frac { \sqrt { 3 } }{ 4 } { a }^{ 2 }

Scalene বা বিষমবাহু ত্রিভুজ
এই ধরণের ত্রিভুজের বাহুগুলো পরষ্পর অসমান। কোণগুলোও সে কারণে পরষ্পর অসমান। সবচেয়ে বেশি আলোচিত বিষমবাহু ত্রিভুজ দুটি হলোঃ
(ক) 5-12-13 অনুপাতের বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজ
(খ) 3-4-5 অনুপাতের বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজ
উপরের দুটোই পিথাগোরাসের উপপাদ্য মেনে চলে, কারণ তারা সমকোণী ত্রিভুজ।
Facts of a scalene:
All the three sides have different length.
All the three angles have different measure.
If the three sides are a, b and c, then the area of the triangle will be : Area = \sqrt { s\left( s-a \right) \left( s-b \right) \left( s-c \right) }
Where, s is the half of the perimeter.
বিশেষ সতর্কতাঃ দীর্ঘদিন শিক্ষকতার অভিজ্ঞতায় আমরা দেখেছি যে, উপরের সূত্রটা সব স্টুডেন্টই বলতে পারেন, কিন্তু তাদের অধিকাংশই s কে মনে করেন ত্রিভুজের পরিসীমা। আসলে s হলো “অর্ধ পরিসীমা” বা  s=\frac { 1 }{ 2 } \left( a+b+c \right)
ত্রিভুজের ক্ষেত্ররফল বের করার কম ব্যবহৃত সূত্র
নীচের আলোচনাটি কেবলমাত্র অ্যাডভান্সড স্টুডেন্টদের জন্যে।
ত্রিভুজের বাহু ও কোণকে চিহ্নিত করার সময় কিছু নিয়ম মানা হয়। যেমন, কোণ ও বিন্দুকে সব সময় বড় হাতের ইংরেজি বর্ণ দিয়ে দেখানো হয়। বহুভুজের বিভিন্ন বিন্দুগুলোকে চিহ্নিত করার সময় ঘড়ির কাটার বিপরীত দিকে A, B, C, D, E … এভাবে চিহ্নিত করা হয়। ত্রিভুজের ক্ষেত্রে, যে বড় হাতের অক্ষর দিয়ে কোণ নির্দেশিত হয়, সেই বর্ণের ছোট হাতের অক্ষর দিয়েই উক্ত কোণের বিপরীত বাহুকে নির্দেশিত করা হয়। নীচের ছবিটি দেখুন।
1
 কোন ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর দৈর্ঘ্য এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ যদি জানা থাকে, তাহলে আমরা নীচের সূত্র ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল বের করতে পারিঃ
Area = \frac { 1 }{ 2 } \left( b \right) \times \left( c \right) \left(sin { A }\right)
          = \frac { 1 }{ 2 } \left( c \right) \times \left( a\right) \left(sin { B }\right)
          = \frac { 1 }{ 2 } \left( a\right) \times \left( b \right) \left(sin { C }\right)
অর্থাৎ, দুইটি বাহুর গুণফল ও তাদের মধ্যকার কোণের “সাইন” মানের গুণফলের অর্ধেক। sin (উচ্চারণ: সাইন) হলো একটি ত্রিকোণমিতিক টার্ম, যা কোন সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব ও অতিভুজের অনুপাতকে নির্দেশ করে।
চারটি কোণের সাইন অনুপাত মুখস্থ রাখা চাইঃ
    ANGLE    
sin30 sin45 sin60 sin90
VALUE \frac { 1 }{ 2 } \frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } \frac { \sqrt { 3 }  }{ 2 } 1

 নীচের ত্রিভুজের দুই বাহুর দৈর্ঘ্য ১১ ও ১২; এবং তাদের মধ্যকার কোণ ৩০। তাহলে ক্ষেত্রফল কত হবে?
1Area = \frac { 1 }{ 2 } \left( 11 \right) \times \left( 12 \right) +\sin { 30 }
         = \frac { 1 }{ 2 } \left( 11 \right) \times \left( 12 \right) \left(\frac { 1 }{ 2 }\right)
        = 33
Similar Triangles বা সদৃশ ত্রিভুজ

যদি দুটি ত্রিভুজ সদৃশ হয় হয় তাহলে তাদের অনুরূপ কোণগুলো (corresponding angles) সমান হবে এবং তাদের অনুরূপ বাহুগুলোর (corresponding sides) অনুপাতও সমান হবে।
অনুরূপ কোণ বলতে সমান বাহুর বিপরীত কোণ বোঝায়।
অনুরূপ বাহু বলতে সমান কোণের বিপরীত বাহু বোঝায়।
নীচের ছবিতে বিষয়টি বোঝানো হয়েছে। একটা ত্রিভুজ বড়, অন্যটা ছোট। কিন্তু একই রকম দাগ দেওয়া কোণ গুলোর মান সমান এবং বাহুগুলোর অনুপাতও সমান।

1The two triangles above are similar, because
< A = < D
< B = < E
< C = < F
And,
\frac { AB }{ EF } = \frac { BC }{ DE } = \frac { AC }{ DF }

বিষয়টিকে আরো ভালো ভাবে বোঝা যাবে এই ছবি থেকে, যেখানে বড় ত্রিভুজটির প্রত্যেকটি বাহু ছোট ত্রিভুজের প্রত্যেকটি অনুরূপ বাহুর ঠিক দুই গুণ বড়। লক্ষ্য করুন, কোণগুলো কিন্তু সমানই আছে।

1Now solve this problem:

What is the length of side  EG , in the figure below?

1দুইটি ত্রিভুজের যদি দুটি কোণ পরষ্পর সমান হয় তাহলেই আমরা নিশ্চিত হতে পারি যে তারা পরষ্পর সদৃশ; কেননা, উভয়ের যেহেতু তিনটি কোণের সমষ্টি সমান ( 180 ) অবশিষ্ট কোণটি অবশ্যই সমান হবে। উপরের ত্রিভুজদ্বয় অবশ্যই পরষ্পর সদৃশ হবে। এবার তাদের অনুরূপ বাহুর অনুপাতের সূত্র প্রয়োগ করে অজানা বাহুর মানটি বের করতে হবে।

সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রে তাদের ক্ষেত্রফলের অনুপাত

দুটি সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের অনুপাত হবে তাদের অনুরূপ বাহুদ্বয়ের বর্গের সমানুপাতিক। উদাহরণ স্বরূপ, নীচের ত্রিভুজদুটি পরষ্পর সদৃশ বলে আমরা লিখতে পারি:

1
\frac { Area\quad of\quad \triangle ABC }{ Area\quad of\quad \triangle DEF } =\frac { A{ B }^{ 2 } }{ D{ E }^{ 2 } }=\frac { A{ C }^{ 2 } }{ D{ F }^{ 2 } }=\frac { B{ C }^{ 2 } }{ E{ F }^{ 2 } }

Congruency of triangles (ত্রিভুজের সর্বসমতা)

সর্বসমতা বলতে একটি ত্রিভুজের প্রত্যেকটি বাহু এবং কোণ অপর ত্রিভুজের অনুরূপ বাহু ও কোণের সমান হওয়া বোঝায়। সর্বসম ত্রিভুজরা একে অপরের “হুবহু কার্বন কপি” বলা যায়। সর্বসমতা বোঝাতে চিহ্ন ব্যবহৃত হয়।
দুইটি ত্রিভুজ সর্বসম হবে এই শর্তগুলোতেঃ

(১) তিন বাহুই সমান হওয়াঃ
যদি প্রথম ত্রিভুজের তিনটি বাহুই দ্বিতীয় ত্রিভুজের তিন বাহুর সমান হয়, সেক্ষেত্রে উভয় ত্রিভুজ পরষ্পর সর্বসম হয়।

1যেমন, উপরে বামের ত্রিভুজের তিনটি বাহুই ডানের ত্রিভুজের তিনটি অনুরূপ বাহুর সমান। অনুরূপ বাহুগুলোকে দাগ টেনে দেখানো হয়েছে।

(২) দুই বাহু ও অন্তুর্ভূক্ত কোণ সমান হওয়াঃ
যদি প্রথম ত্রিভুজের দুইটি বাহু দ্বিতীয় ত্রিভুজের দুইটি বাহুর সমান হয় এবং এই দুটি বাহু দ্বারা গঠিত কোণ উভয় ত্রিভুজের ক্ষেত্রে সমান হয়, তাহলে তারা সর্বসম হয়।

1যেমন, উপরে বামের ত্রিভুজের দুইটি বাহু ডানের ত্রিভুজের দুইটি বাহুর সমান। সেই সাথে বামের ত্রিভুজে উক্ত দুই বাহুর মধ্যবর্তী কোণটি ডানের উক্ত দুই বাহুর মধ্যবর্তী কোণের সমান।

(৩) দুইটি কোণ সমান, এবং একটি অনুরূপ বাহু সমানঃ
যদি প্রথম ত্রিভুজের দুইটি কোণ দ্বিতীয় ত্রিভুজের অনুরূপ দুইটি কোণের সমান হয়, এবং প্রথম ত্রিভুজের একটি বাহু অপর ত্রিভুজের একটি বাহুর সমান হয়, তাহলে ত্রিভুজদ্বয় সর্বসম।

মন্তব্য : দুইটি ত্রিভুজের মধ্যে দুইটি করে কোণ সমান হলে অবশিষ্ট কোণটিও সমান হয়, কারণ যে কোন ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 180 .

1এখানে উপরে বামের ত্রিভুজের দুইটি কোণ ডানের ত্রিভুজের দুইটি কোণের সমান; এবং বামের ত্রিভুজের একটি বাহু ডানের ত্রিভুজের একটি বাহুর সমান। কাজেই, তারা পরষ্পর সর্বসম।

কেবলমাত্র অতি অ্যাডভান্সড স্টুডেন্টদের জন্যে

১. ত্রিভুজের তিনটি কোণকে যদি দ্বিখণ্ডিত করা হয়, তাহলে তারা একটি বিন্দু দিয়ে গমন করে। সেই বিন্দু হলো উক্ত ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র। নীচের ছবিতে প্রতিটি কোণকে দ্বিখণ্ডিত করে ভেতরের বৃত্তের কেন্দ্র পাওয়া গেছে।

1উপরের ছবিতে I হল Center of the inscribed circle ।

২. ত্রিভুজের তিনটি কৌণিক শীর্ষ হতে যদি বিপরীত বাহুর উপরে লম্ব টানা যায়, তাহলে উক্ত তিনটি লম্ব একটি বিন্দু দিয়ে পরষ্পরকে ছেদ করে। উক্ত বিন্দুটি হলো ত্রিভুজের বহির্বৃত্তের কেন্দ্র।

1উপরের ত্রিভুজে তিনটি কৌণিক শীর্ষ হতে বিপরীত বাহুর উপরে লম্ব আঁকা হয়েছে, যারা J বিন্দুতে পরষ্পরকে ছেদ করেছে। J হলো center of the circumscribed circle |

Comments

comments