[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (4) Decimals, Fraction, Percentage বিভাগের অধীনে 〈3〉Rates(Work, Speed, Conduits) চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈4.3.a〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]
〈4.3.a〉কাজ ও গতির হার বিষয়ক আলোচনা (Rates & work strategy) :
বিভিন্ন পরীক্ষায় এ ধরণের প্রশ্ন #এরিথমেটিক অংশে প্রায়ইঃ দেখা যায়। এ ধরণের অঙ্কে সাধারণতঃ নিচের টার্মগুলো উলেখ থাকে।
RATE,
TIME, & DISTANCE
or WORK.
এই তিনটি বিষয় একটি equation দ্বারা সংযুক্ত, যা হলোঃ
Rate*Time=Distance
or, Rate*Time=Work
These equations can be abbreviated as [latex]RT=D[latex] or as [latex]RT=W[latex]. Basic rate problems involve simple manipulations of these equations.
মনে রাখবেন, ভ্রমণ বা একক সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব সংক্রান্ত অঙ্ক এবং কাজ সংক্রান্ত অঙ্ক আসলে একই রকমের কাঠামোর মধ্যে ফেলে সমাধান করা যায়। The main difference is that for work problems, the right side of the equation is not a distance but an output (e.g.[latex]5[latex] houses built).
আবার, এককের দিকেও লক্ষ রাখতে হবে। যেমন, দূরত্বের ক্ষেত্রে “একক সময়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব”, যাকে আমরা “বেগ” বলি, এরর একক হবে মাইল/ঘণ্টা এরকম। কিন্তু সম্পাদিক কাজের ক্ষেত্রে একক হয় এরকমঃ ফসল কাটার হার দিনে এক একর।
Rate problems সাধারণতঃ পাঁচটি main forms এ থাকতে দেখা যায়ঃ
(1) Basic Motion Problems
(2) Average Rate Problems
(3) Simultaneous Motion Problems
(4) Work Problems
(5) Population Problems
Basic Motion: The RTD Chart
basic motion problems এ এই তিনটি elements থাকবে: Rate, Time, and Distance.
Rate is expressed as a ratio of distance and time, with two corresponding units.
Some examples of rates include: [latex]30[latex] miles per hour, [latex]10[latex] meters/second, [latex]15[latex] kilometers/day.
Time is expressed using a unit of time. Some examples of times include: [latex]6[latex] hours, [latex]23[latex] seconds, [latex]5[latex] months, etc.
Distance is expressed using a unit of distance.
Some examples of distances include: [latex]18[latex] miles, [latex]20[latex] meters, [latex]100[latex] kilometers.
Use the [latex]RT=D[latex] formula to find the missing variable.
If a car is traveling at [latex]30[latex] miles per hour, how long does it take to travel [latex]75[latex] miles?
Solve for the time:
[latex]30t=75[latex], or [latex]t=2.5[latex] hours
এককের বিষয়ে সতর্ক থাকতে হবে। অনেক সময় সেকেন্ডে ডাটা দিয়ে মিনিটে উত্তর জানতে চাওয়া হয়। For example:
It takes an elevator four seconds to go up one floor. How many floors will the elevator rise in two minutes?
The rate is [latex]1[latex] floor/[latex]4[latex] seconds, which simplifies to [latex]0.25[latex] floors/second. বিশেষ সতর্কতাঃ এখানে কিন্তু rate [latex]4[latex] seconds per floor! This is an extremely frequent error. Always express rates as “distance over time,” not as “time over distance.”
The time is [latex]2[latex] minutes. The distance is unknown.
সময়টাকেও convert করে নিতে হবে; from [latex]2[latex] minutes to [latex]120[latex] seconds, and we can solve for the distance using the [latex]RT=D[latex] equation:
[latex].25(120)=d[latex] [latex]d=30[latex] floors
Multiple Rate-related Problems (একটু কঠিন ধরণের)
অনেক সময়, কোন অঙ্কের ডিফিকাল্টি লেভেল বাড়ানোর জন্যে এর মধ্যে একাধিক ধরণের rate, time বা distance দেওয়া হতে পারে। সচরাচর জানতে চাওয়া হয় এ ধরণের কিছু টার্ম এখানে আলোচনা করা হলো। টার্মগুলো হতে পারে এমনঃ
(1) Twice / half/ [latex]n[latex] times as fast as. Train [latex]A[latex] is traveling at twice the speed of Train [latex]B[latex]. “Twice the speed of [latex]B[latex]” কথাটির অর্থ হলো ই যে বেগে যাচ্ছে, তার দ্বিগুণ বেগে [latex]A[latex] যাচ্ছে।
(2) Slower or faster Wakil walks [latex]1[latex] mile per hour more slowly Than Muhsin. এখানে অর্থ হলো Muhsin যে বেগে যাচ্ছে, চেয়ে ১ মাইল/ঘণ্টা বেগে Wakil যাচ্ছে।
(3) Relative Rates Car A and Car B are driving directly toward each other. এখানে অর্থ হলো উভয় গাড়ি পরষ্পরের দিকে অগ্রসর হচ্ছে। কাজেই, আপেক্ষিক বেগ হবে দুইজনের নিজ নিজ বেগের যোগফল। আবার ধরুন, পানির ট্যাঙ্ক ভরার জন্যে দুইটি নল আছে, যারা আলাদা ভাবে নির্দিষ্ট হারে ওই ট্যাঙ্ক ভরতে পারে (ট্যাঙ্ক/ঘণ্টা এককে)। যদি উভয় নল এক সাথে খুলে রাখা হয়, তাহলে সম্মিলিত হার হবে দুইটি নলের পানি ভরার হারের যোগফল।
(3#1) Special case Car A is chasing Car B, and catching up। এখানে অর্থ হলো সামনের গাড়িটার চেয়ে পিছনের গাড়ির বেগ বেশি বলে এক সময় পেছনের গাড়িটা সামনের গাড়িটাকে ধরে ফেলবে, এবং তাদের আপেক্ষিক বেগ হবে উভয়ের বেগের বিয়োগফল। আরেকটি কেস কল্পনা কর“নঃ পানির ট্যাঙ্ক এ একটি নল দিয়ে পানি ভরে আর আরেকটা দিয়ে পানি পড়ে গিয়ে ট্যাঙ্ক খালি হয়। এ ক্ষেত্রেও ট্যাঙ্ক ভরার হার দুইটির বিয়োগফল হবে নল দুইটি এক সাথে খোলা রাখলে কি হারে ট্যাঙ্ক ভরবে তার সমান।
(4) Time relation Joy runs a race [latex]30[latex] seconds faster than Toru. এখানে অর্থ হলো Toru যে সময় নিয়ে রেসটি শেষ করেছে, তার চেয়ে ৩০ সেকেন্ড আগে শেষ করেছে Joy । এখানে একজনের সময় আরেকজনের সময়ের চেয়ে ৩০ সেকেন্ড কম।
বিশেষ সতর্কতাঃ কেস ২ এর সাথে এই কেসটির পার্থক্য লক্ষ করুন। “দ্রুত শেষ করলো” মানে “ শেষ করতে সময় কম নিলো”।
(5) Left … and met/arrived Sumi left her office at the same time as Tisha left hers. They met some time later. এখানে অর্থ হলো তারা সমান সময় ধরে ট্রাভেল করেছে।
(6#1) Left … and met/arrived Sumi and Tisha left at the same time, but Sumi arrived home [latex]1[latex] hour before Tisha did. এখানে অর্থ হলো তিশা যতটা সময় নিয়েছে, সুমি তার চেয়ে ১ ঘণ্টা কম সময় নিয়েছে।
দুইটি গাড়ির বেগ সংক্রান্ত পরিস্থিতিকে আমরা তিন ভাগে ভাগ করতে পারি:
k. crash situation : দুটি গাড়ি মুখোমুখি আসছে, ফলে আপেক্ষিক বেগ হবে তাদের বেগের যোগফল
L. quarrel situation: দুটি গাড়ি পরষ্পর বিপরীত দিকে যাচ্ছে, সেক্ষেত্রেও আপেক্ষিক বেগ হবে তাদের বেগের যোগফল।
M. chase situation: একটি গাড়িকে পেছন থেকে আরেকটি গাড়ি দ্রুততর বেগে ধাওয়া করছে। সেক্ষেত্রেও তার বেগ থেকে সামনের গাড়ির বেগ বিয়োগ করলে আপেক্ষিক বেগ পাওয়া যাবে।
(7) Round trip
Jan drives from home to office in the morning and takes the same route to come back home in the evening. এখানে যাওয়া আর আসার জন্যে ভিন্ন ভিন্ন বেগ ও সময় লাগলেও মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব কিন্তু বাসা-অফিস দূরত্বের দ্বিগুণ।
Use the following step-by-step method to solve problems such as this:
Stacy and Heather are [latex]20[latex] miles apart and walk towards each other along the same route. Stacy walks at a constant rate that is 1 mile per hour faster than Heather’s constant rate of [latex]5[latex] miles/hour. If Heather starts her journey 24 minutes after Stacy, how far from her original destination has Heather walked when the two meet?
(A) 7 miles
(B) 8 miles
(C) 9 miles
(D) 10 miles
(E) 12 miles
সবার আগে, অঙ্কটি ভালো করে পড়ুন, বেশ কয়েকবার, যাতে আপনি দৃশ্যটা পুরোপুরি বুঝতে পারেন। একজন আরেকজনের চেয়ে আস্থে হাঁটে। আবার দুইজন দুই বিন্দু থেকে হাঁটা শুরু করেছেও ভিন্ন সময়ে।
এখানে হাঁটার দিক মুখোমুখি বলে আপেক্ষিক বেগ হবে দুইজনের বেগের যোগফলের সমান।
Go ahead and convert any mismatched units. Because all the rates are given in miles per [latex]1[latex]hr, you should convert the time that is given in minutes:
[latex]24[latex] min [latex]1[latex]h/[latex]60[latex]min=[latex].4[latex] hr
আমরা একটি চার্ট বানাই, যার মধ্যে তিনটি term ([latex]S,T,D[latex]) জন্যে ঘর ফাঁকা রাখি
উপরের টেবিলের মধ্যে দুইটি প্রশ্নবোধক চিহ্ন আছে, যাদের আমরা নীচের টেবিলে মান বসিয়ে রিপেস করে ফেললাম। এখানে অতিক্রান্তু দূরত্ব হলো বেগ ও সময়ের গুণফল এই সূত্র প্রয়োগ করা হলো।
দুইজনের আলাদা আলাদা ভাবে অতিক্রান্ত দূরত্বের যোগফল হবে মোট দূরত্ব ২০ মাইলের সমান, কারণ দুইজন একই সাথে একই দিকে যাচ্ছে।
Solve, [latex]6t+2.4+5t=20[latex] Or, [latex]t=1.6[latex] hours.
সুতরাং Heather এর অতিক্রান্ত দূরত্ব হলো [latex]5[latex]t or [latex]8[latex] মাইল। এটাই হলো উত্তর।
মজার তথ্যঃ
অঙ্ক না করেই এমসিকিউ ধাঁচের প্রশ্ন থেকে কিছু অপশন বাদ দেওয়া যায়। যেমন, উপরের পরিস্থিতিটা কল্পনা করুন, যেখানে হেথার তার বান্ধবি স্টেসির চেয়ে শুধু যে ধীরে হাঁটে তা-ই না, বরং সে হাঁটা শুরু করেছেও দেরি করে। কাজেই, কোন মতেই তার পক্ষে মোট দূরত্বের অর্ধেক কিংবা অর্ধেকের বেশি অতিক্রম করে বান্ধবীর সাক্ষাত পাওয়া সম্ভব নয়। মোট দূরত্ব যেহেতু ২০ মাইল, আমরা অঙ্ক না করেই অপশন থেকে শেষের দুইটি অর্থাৎ ১০ ও ১২ মাইলকে আমরা বাদ দিতে পারি।
Average Rate বা গড় বেগ
বেগগুলো যোগ করে ২ দিয়ে ভাগ করলে ভুল উত্তরই পাবেন!
If Lokman walks to work at a rate of 4 miles per hour, but he walks home by the same route at a rate of 6 miles per hour, what is Lokman’s average walking rate for the round trip?
এ ধরণের অঙ্ক দেখেই অনেক স্টুডেনন্টের মনে যে আইডিয়া আসে তা হলো, আলাদা দুটো বেগকে যোগ করে প্রাপ্ত যোগফলকে ২ দিয়ে ভাগ দিয়ে উত্তর বের করা। ভুল! মারাত্তক ভুল। গড় বেগ বলতে বোঝায় মোট অতিক্রান্ত দূরত্বকে মোট ব্যায়িত সময় দিয়ে ভাগ করে প্রাপ্ত ফল।
Jack goes to office at [latex]20[latex] speed, and comes back at [latex]40[latex]. If you think that his average speed of entire trip is the average of [latex]20[latex] & [latex]40[latex], you’re fallen in the pitfall ( লুকিয়ে থাকা বিপদ).
Solution:
Let the distance is [latex]x[latex]. So, total distance is [latex]2x[latex]. => time spent to go = [latex]x/20[latex] => time spent to return = [latex]x/40[latex] So, total time spent = [latex]3x/40[latex]. Average speed of entire trip = [latex](2x)/(3x/40)=26.67[latex] (Ans). The number [latex]26.67[latex] is smaller than directly calculated (incorrect) average [latex]30[latex].
মনে রাখবেনঃ the average speed of an entire round-trip is always smaller than the average of up speed and down speed. So, if up speed is d1 and down speed is d2 and actual average speed of the entire trip is [latex]{ d }_{ real }[latex], then,
[latex]{ d }_{ real }=<\frac { { d }_{ 1 }+{ d }_{ 2 } }{ 2 }[latex]
আরেকটি দৃশ্য কল্পনা করুন, যেখানে বেশ কয়েক ধাপে যাত্রা সম্পন্ন করা হয়, এবং বিভন্ন ধাপে ভিন্ন ভিন্ন বেগ ও সময় থাকে।
Jack travels the above points with mentioned speed (mph = miles per hour) for mentioned time (h=hour). What is his average speed of the entire trip from [latex]S[latex] to [latex]V[latex]?
Solution:
Distances of [latex]ST=2*10=20[latex] miles; of [latex]TU=3*20=60[latex] miles; of [latex]UV=4*30=120[latex] miles. So, total distance is [latex]20+60+120=200[latex] miles. And total time spent was [latex]2+3+4[latex] hr. So, average speed would be [latex]200/7[latex] miles per hour.
However, if you are fallen in the pitfall, then your result would be average of [latex]10,20[latex] and [latex]30[latex], which is [latex]20[latex]mph (incorrect).
Work Rates বা কাজ করার হার
Work rates usually include one major twist not seen in distance problems: you often have to calculate the work rate.
Work rate = [latex]\frac { given\quad no\quad of\quad jobs }{ given\quad amount\quad of\quad time }[latex]
For instance, if Osman can perform one hand surgery in [latex]1.5[latex] hours, his work rate is [latex]\frac { 1\quad operation }{ 1.5\quad hrs }=2/3[latex] operations per hr.
Team Work: Add the Rates
বিভিন্ন পরীক্ষায় এ ধরণের অঙ্ক আসতে দেখা যায়, যেখানে একাধিক শ্রমিক এক সাথে কাজ করে কোন কাজ শেষ করে। এসব ক্ষেত্রে কাজ করার হার বা rate বের করে তা যোগ করতে হয়।
For “Team work”: We will remember this simple formula:
[latex]\sum _{ =1 }^{ }{ \frac { time\quad contributed\quad for\quad the\quad task }{ time\quad needed\quad to\quad finish\quad the\quad task } }[latex]
এখানে চিহ্ন দিয়ে বোঝানো হচ্ছে ভিন্ন ভিন্ন ফ্র্যাকশন এক সাথে যোগ করতে হবে।
একটি পরিস্থিতি কল্পনা করূন, যেখানে একটি কাজ আলাদা ভাবে সম্পন্ন করতে বাবা ৫ দিন, মা ৭ দিন এবং তাদের ছেলে ৯ দিন সময় নেয়। বেশী সময় নেওয়া মানে ধীরে কাজ করা বা ক্ষমতা কম থাকা। আমাদের বের করতে হবে, বাবা, মা ও ছেলে তিনজনে এক সাথে কাজ করলে কত দিনে কাজ শেষ হবে।
ধরা যাক, তার এক সাথে মোট [latex]x[latex] দিন কাজ করলো। তাহলে, বাবা, মা ও ছেলে প্রত্যেকের জন্যেই ”time contributed for the task” কত দিন কাজ করেছে প্রশ্নের উত্তর হবে [latex]x[latex] । কিন্তু “time needed to finish the task” বা কাজটি একা করতে কতদিন সময় লাগে প্রশ্নের উত্তরে ভিন্ন ভিন্ন সময় বসবে।
And the sum of the ratio will be [latex]1[latex]. Therefore, [latex]x/5+x/7+x/9=1[latex]; solve [latex]x[latex] to get the answer.
যখন কেউ কাজ ছেড়ে চলে যায় এবং বাকীরা কাজ শেষ করেঃ
Father worked for [latex]1[latex] day, and then left the job; mother worked [latex]2[latex] days and then left the job. The son then finished the task alone. Find the number of days (y) that son worked alone.
[latex]1/5+2/7+y/9=1[latex]; solve [latex]y[latex] to get the answer.
বাবার ক্ষেত্রে, সে ১ দিন কাজ করেছে (numerator), এবং সম্পূর্ণ কাজটি করতে তার সময় লাগে ৫ দিন (numinator)। একই ভাবে মায়ের জন্যে সময় দুটো বসানো হলো। সব শেষে ছেলে y দিন কাজ করে কাজটি শেষ করেছে (denominator) এবং একা কাজটি করতে পারে ৯ দিনে (denominator)। এভাবে তারা কাজটি করে কাজটি শেষ করে ফেললো, ফলে প্রত্যেকের কৃত অংশের যোগফল ১ হলো।
আরেকটু জটিল ধরণের অঙ্কঃ
ধরা যাক, বাবা, মা এর ছেলেদের দলে যোগ দিলো সুপারম্যান। চারজন এক সাথে কাজ শুরূ করার মাত্র 1/4 দিনের মধ্যেই (অর্থাৎ এক দিনের চার ভাগের এক ভাগ সময়ে) পুরো কাজটি শেষ হয়ে গেল।
জানতে চাওয়া হলো, সুপারম্যান একা একা ওই কাজটি কত দিনে ([latex]s[latex]) শেষ করতে পারবে?
সূত্রটি এরকম দাঁড়াবেঃ
[latex]\frac { \left( \frac { 1 }{ 4} \right) }{ 7 } +\frac { \left( \frac { 1 }{ 4} \right) }{ 9 } +\frac { \left( \frac { 1 }{ 4} \right) }{ 5 } +\frac { \left( \frac { 1 }{ 4} \right) }{ s } =1[latex]
যদি কেউ নেগেটিভ কাজ করেঃ
নেগেিেটভ কাজ করা বলতে বোঝানো হচ্ছে বিপরীত ধরণের কাজ করা। উদাহরণ স্বরূপ, নল দিয়ে পানি প্রবেশের পরিবর্তে ট্যাঙ্ক থেকে পানি বের হয়ে যাওয়া; দেওয়াল রং করার পরিবর্তে রং মুছে ফেলা ইত্যাদি।
উপরের উদাহরণে ধরা যাক, বাবা, মা, ছেলে ও সুপারম্যানের দলে পঞ্চম ব্যক্তি হিসাবে বদম্যান যোগ দিল, যে আসলে অন্যদের কৃত কাজ নষ্ট করে ফেলে। বদম্যান আসার আগে চারজন মিলে যেখানে কাজটা [latex]1/4[latex] দিনেই করে ফেলতো, বদম্যান আসার পরে সেই কাজ ৫ জনে মিলে করতে ৬ দিন লাগলো। আমরা জানতে চাই, সম্পূর্ণ একটি কাজ নষ্ট করতে বদম্যানের কত দিন (B) সময় লাগবে।
সমীকরণটি হবে এরকম। লক্ষ করুন, আমরা বদম্যানের ফ্র্যাকশনের আগে নেগেটিভ বসিয়েছি।
[latex]6/5+6/7+6/9-6/s=1[latex]; solve for [latex]s[latex] to get answer.
Conduit & tank-filling problem:
[latex]A,B,C[latex] are three pipes who can fill a tank in [latex]2, 4[latex] and [latex]8[latex] hours respectively. [latex]D[latex] is another pipe which can empty the filled tank in [latex]5[latex] hours. How long will it take to fill the tank if all the four pipes are opened simultaneously?
Solution:
let the time is [latex]t[latex]. So, all four pipes contributed for [latex]t[latex] hours. [latex]t/2+t/4+t/8-t/5=1[latex], now solve it for [latex]t[latex].
