[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (1) Geometry বিভাগের অধীনে 〈7〉 3D Objects চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈1.7.a〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]
〈1.7.a〉ত্রিমাত্রিক বিভিন্ন বস্তু বিষয়ক জ্যামিতি: Surface Area
The surface area of a three-dimensional shape is the amount of space on the surface of that particular object. Surface area বা পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল কতটুকু তা মনে রাখার সহজ নিয়ম হলো ওই বস্তুটিকে সম্পূর্ণভাবে পেইন্ট করলে যে এলাকা জুড়ে রং মাখাতে হবে, সেটাই হলো ওই বস্তুটির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল।
As with simple area, surface area is measured in square units such as [latex]{ inch }^{ 2 }[latex] (square inches) or [latex]{ ft }^{ 2 }[latex] (square feet).
Surface Area = the SUM of the areas of ALL of the faces
উপরের দুইটি solid এর মোট ৬ টি surface বা তল আছে। উপরের প্রথমটি হলো rectangular solid এবং নীচেরটি cube। সম্পূর্ণ তলের ক্ষেত্রফল বের করার আগে আমাদের বের করতে হবে পরষ্পর বিপরীত দিকে অবস্থিত তলের ক্ষেত্রফল, যারা আবার পরষ্পর সমান। উপরের প্রথমটায় length, width and height যথাক্রমে [latex]12, 3[latex] and [latex]4[latex]; কাজেই আমরা লিখতে পারিঃ
Area of bottom (also top) side = [latex]12\times3 = 36[latex]
Area of left (also right) side = [latex]4\times3 = 12[latex]
Area of front (also rear) side = [latex]12\times4 = 48[latex]
Therefore, total area is [latex]2(36+12+48) = 192[latex].
যদি rectangular solid এর তিনটি dimensions [latex]a, b, c[latex] হয় তাহলে তার পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল হবে:
[latex]2(ab+bc+ca)[latex] square unit.
cube এর ক্ষেত্রে ৬ টি বাহুই সমান বলে প্রতিটি তল বা face এর ক্ষেত্রফল হবে [latex]6{ a }^{ 2 }[latex];
কাজেই সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল হবে [latex]6{ a }^{ 2 }[latex] square unit।
কুইজঃ উপরের cube টির ক্ষেত্রফল কত হবে?
3 Dimensions: Volume
Volume বা আয়তন হলো কোন বস্তু কতখানি জায়গা দখল করে আছে তার পরিমাণ। এটি তিন মাত্রা বিশিষ্ট, কেননা কোন বস্তু কতখানি তল বা face দখল করে আছে (দুই মাত্রা) তার সাথে ওই বস্তু কতটা উঁচু (এক মাত্রা) তা গুণ করেই তার আয়তন পাওয়া যায়।
আয়তনের ধারণা গুরত্বপূর্ণ, কারণ কোন solid এর মধ্যে মোট বস্তু বা stuff এর পরিমাণ প্রকাশিত হয় আয়তনের দ্বারা। যেমন, কোন rectangular juice carton এর মধ্যে কতটা জুস ধরে তা ওই কার্টনের আয়তন থেকে বোঝা যায়।
Volume is measured in cubic units such as [latex]{ inch }^{ 3 }[latex] (cubic inches) or [latex]{ ft }^{ 3 }[latex] (cubic feet) or [latex]{ meter }^{ 3 }[latex] (cubic meters).
Formula:
[latex]Volume=Length*Width*Height[latex]
Rectangular solid এর তিনটি side (দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা) -কে যথাক্রমে [latex]a, b, c[latex] দিয়ে প্রকাশ করা হয়।
cube এর ক্ষেত্রে প্রতিটি side-ই সমান, যাদের [latex]a[latex] দিয়ে প্রকাশ করা হয়।
volume বা আয়তনের প্রতীক হলো [latex]V[latex]।
For rectangular solid, [latex]V=abc[latex]
For cube, [latex]V={ a }^{ 3 }[latex]
By looking at the rectangular solid above, we can see that the length is [latex]12[latex], the width is [latex]3[latex], and the height is [latex]4[latex]. Therefore, the volume is [latex]12\times3\times4=144[latex].
Note: in a cube, all three of the dimensions -length, width, and height-are identical. Therefore, knowing the measurement of just one side of the cube is sufficient to find the volume. In the cube above, the volume is [latex]5\times5\times5=125[latex].
Cyilnder
গণিতের সংজ্ঞা অনুসারে, কোন আয়তক্ষেত্রে তার এক বাহুকে অক্ষ করে একবার পাঁক খেয়ে ঘুরে আসলে যে ত্রিমাত্রিক কাঠামোটি পাওয়া যায় তাকে সিলিন্ডার বলে। তবে এই সংজ্ঞাটি অনেকের কাছে কঠিন ঠেকতে পারে। সেক্ষেত্রে সিলিন্ডার বোঝাতে আমরা সিলিন্ডারের মত আকৃতি বিশিষ্ট বস্তুকে মডেল হিসাবে ব্যবহার করবো। এক্ষেত্রে কনডেন্সড মিল্কের টিনের কৌটা কল্পনা করতে পারেন। একটি সিলিন্ডার আকৃতির টিনের কৌটাকে আমরা তিনটি ভাগে ভাগ করতে পারিঃ উপরের বৃত্তাকার ছাদ; তলার বৃত্তাকার পৃষ্ঠ; মাঝখানে চোঙ এর মতো অংশ, যাকে কাঁচি দিয়ে কেটে আমরা ধাতব শীটে পরিণত করতে পারি, যা একটি আয়তক্ষেত্রের মতো। অর্থাৎ এই তিনটি অংশ একত্রে জুড়েই তৈরী করে সিলিন্ডারের কাঠামো।
মাঝখানে যে আয়তাকার কাঠামোটা দেখানো হয়েছে, তার উপরের দৈর্ঘ্য হবে ছাদের বৃত্তাকার কাঠামোর পরিধির সমান। এবার, যদি বৃত্তের ব্যাসার্ধ হয় r, তাহলে ছাদ ও তলার পরিধি হবে 2πr, যা আবার আয়তাকার অংশের এক পাশের দৈর্ঘ্য। সিলিন্ডারের উচ্চতা যদি h হয় তাহলে h হবে উক্ত আয়তাকার অংশের অন্য পাশের দৈর্ঘ্য। সুতরাং, সিলিন্ডারের পার্শ্ব তলের ক্ষেত্রফল হবে 2πrh।
Surface area of cylinder
যেহেতু সিলিন্ডারটি তিনটি আলাদা অংশ দ্বারা গঠিত, এর সমগ্র তলের ক্ষেত্রফল হবে নিম্নরূপঃ
ছাদের বৃত্তাকার ক্ষেত্রফল = π[latex]{ r }^{ 2 }[latex]
মাঝখানের চোঙ এর আয়তাকার ক্ষেত্রফল = [latex]2rh[latex]π
তলার বৃত্তাকার ক্ষেত্রফল = π[latex]{ r }^{ 2 }[latex]
কাজেই, সম্পূর্ণ ক্ষেত্রফল হবেঃ
π[latex]{ r }^{ 2 }+2[latex]π[latex]rh+{ r }^{ 2 }[latex]π
= [latex]2[latex]π[latex]r(r+h)[latex]
Volume of a cylinder
কোন বস্তুর আয়তন বের করতে হলে এই নিয়মটি মনে রাখতে হবেঃ আয়তন হলো ভূমির ক্ষেত্রফলকে উচ্চতা দিয়ে গুণ করে প্রাপ্ত রাশি। আর যদি বস্তুটি এমন হয় যার মাথা ক্রমশ সর হয়ে গেছে (যেমন, মিসরের পিরামিড, কোন আইসক্রিমের চোঙা বা ঝালমুড়ির চোঙা ইত্যাদি) তাহলে তার ভূমির ক্ষেত্রফল ও উচ্চতার গুণফলকে তিন দিয়ে ভাগ করতে হবে।
কাজেই, সিলিন্ডারের আয়তন হবেঃ π[latex]{ r }^{ 2 }h[latex]
এবং এককটি হয় [latex]{ inch }^{ 3 }[latex] or [latex]{ ft }^{ 3 }[latex] or [latex]{ meter }^{ 3 }[latex]. হিসাবে কারণ উপরের রাশিটি ত্রিমাত্রিক।
What is the volume of the cylinder below? 
Here, volume [latex]V=[latex]π[latex]{ r }^{ 2 }h[latex]
= π[latex]{ 1 }^{ 2 }(20)[latex]
= [latex]20[latex]π
আরেকটি সিলিন্ডারের কথা কল্পনা করন, যা উপরের সিলিন্ডারের দ্বিগুণ মোটা কিন্তু উচ্চতায় চার ভাগের এক ভাগ।
উপরের সিলিন্ডারের আয়তন বের করলে দেখতে পাবেন সেটাও = [latex]20[latex]π.
Note: সিলিন্ডারের নির্দিষ্ট পরিমাণ উচ্চতা হ্রাসবৃদ্ধিতে যতটা তার আয়তনের পরিবর্তন হয়, একই পরিমাণ ব্যাসার্ধ্যরে হ্রাসবৃদ্ধিতে তার আয়তন অনেক বেশি পরিবর্তিত হয়। এজন্যে সিলিন্ডার আকৃতির পানির ট্যাঙ্কি এক ফুট বেশি উচু করার চেয়ে এক ফুট ব্যাসার্ধ বাড়িয়ে দিলে ধারণক্ষমতা অনেক বেড়ে যায়।
