[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (1) Geometry বিভাগের অধীনে (2) Triangle চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈1.2 .a〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]
〈1.2 .a〉ত্রিভুজ পর্ব ১ঃ কোণ, বাহু, পিথাগোরিয়ান সেট, ক্ষেত্রফল ও বিশেষ কেইস
Introduction:
বিভিন্ন পরীক্ষায় জ্যামিতি অংশ থেকে ত্রিভুজ সংক্রান্ত প্রশ্ন সবচেয়ে বেশি থাকে। সবচেয়ে বেশি গুরুত্বর্পূণ হলো সমকোণী ত্রিভুজ বা Right triangles (those with a [latex]90[latex]° angle)। কিছু সমকোণী ত্রিভুজের (প্রধানত [latex]30-60-90[latex] এবং [latex]45-45-90[latex] কোণবিশিষ্ট) বাহুগুলোর মধ্যে বিশেষ সম্পর্ক আছে, যা আমাদের অবশ্যই মনে রাখতে হবে। এসব থেকেও পরীক্ষায় প্রচুর প্রশ্ন থাকে। কোন সমকোণী ত্রিভুজের যে কোন দুইবাহুর দৈর্ঘ্য দেওয়া থাকলে Pythagorean theorem (পিথাগোরিয়াস তত্ত্ব) থেকে আমরা তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য বের করে নিতে পারি।
The Angles of a Triangle(ত্রিভুজের কোণসমূহ)
ত্রিভুজের কোণ সংক্রান্ত দুইটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় আমাদের মনে রাখতে হবে, যথাঃ
(Rule#1) The sum of the three angles of a triangle equals [latex]180[latex]°.
কুইজঃ
What is [latex]x[latex] in the above triangle?
তিনটি কোণের যোগফল [latex]180[latex]° হবে, কাজেই, [latex]x + 96 + 50 = 180[latex]°; now solve for [latex]x[latex].
Another scenario:
কুইজঃ
What is [latex]a[latex] in the triangle above?
ত্রিভুজটির বামে নীচের কোণটিতে দেখানো চিহ্ন নির্দেশ করে যে ওই কোণটি [latex]90[latex]°। কাজেই, বাকীয় দুইটি কোণের যোগফল হবে [latex]90[latex]°। In other word, [latex]3a + a = 90[latex]°; now solve it for [latex]a[latex].
(Rule#2) Angles correspond to their opposite sides. অনুরূপ বাহুর বিপরীত কোণগুলো অনুরূপ হয়। This means that the largest angle is opposite the longest side, while the smallest angle is opposite the shortest side.
Additionally, if two sides are equal, their opposite angles are also equal. Such triangles are called isosceles triangles(সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ).
কুইজঃ
If angle [latex]a[latex] =[latex]angle[latex] [latex]b[latex], what is the length of side [latex]x[latex]?
Since the side opposite angle [latex]b[latex] has a length of [latex]10[latex], the side opposite angle a must have the same length. Therefore, [latex]x =10[latex].
The Sides of a Triangle (ত্রিভুজের বাহুসমূহ) এবং অসম্ভব ত্রিভুজ
The sum of any two sides of a triangle must be GREATER THAN the third side. অর্থাৎ, ত্রিভুজের যে কোন দুই বাহুর যোগফল তার তৃতীয় বাহুর চেয়ে বড়।
উপরে যে ত্রিভুজের ছবিটি দেখছেন, সেটা এভাবে আঁকা অসম্ভব; কেননা এখানে ভূমি ([latex]14[latex]) অপর বাহুদ্বয়ের যোগফলের চেয়ে বড়।
বিশেষ নোট: আমাদের যদি ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য বলা থাকে, তাহলে তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য সম্পর্কে আমরা ধারণা করতে পারি। তৃতীয় বাহুটি অপর দুই বাহুর যোগফলের ছোট হবে, কিন্তু তাদের অন্তরফলের চেয়ে বড় হবে।
For instance, if you are told that two sides are of length [latex]3[latex] and [latex]4[latex], then the length of the third side must be between [latex]1[latex] and [latex]7[latex].
The Pythagorean Theorem
A right triangle(সমকোণী ত্রিভুজ) is a triangle with one right angle([latex]90[latex]°). Every right triangle is composed of two legs and a hypotenuse (উচ্চারণ: হাইপটেনিউজ, অর্থাৎ অতিভুজ).
সমকোণ বা [latex]90[latex]° কোণের বিপরীত বাহুটিই hypotenuse হয়। প্রচলিত প্রথা অনুসারে hypotenuse কে [latex]c[latex] বর্ণ দিয়ে দেখানো হয়।
The two legs which form the right angle are often called [latex]a[latex] and [latex]b[latex] (it does not matter which leg is [latex]a[latex] and which leg is [latex]b[latex]).
সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে দুইটি বাহু জানা থাকলে তৃতীয় বাহু বের করার সহজ সূত্রটি Pythagorean Theorem নামে পরিচিত।
Pythagorean Theorem: [latex]a[latex]2+ [latex]b[latex]2= [latex]c[latex]2
Look at the triangle below: What is [latex]x[latex]?
Solution: We know that, [latex]a[latex]2+ [latex]b[latex]2 = [latex]c[latex]2
Or, [latex]x[latex]2+ [latex]6[latex]2= [latex]10[latex]2
Or, [latex]x[latex]2+ [latex]36[latex]= [latex]100[latex]
Or, [latex]x[latex]2= [latex]64[latex]
Or, [latex]x = 8[latex]
(বাহুর দৈর্ঘ্য নেগেটিভ হতে পারে না বলে আমরা)
বিশেষ নোটঃ উপরে যেভাবে ত্রিভুজটিকে রাখা হয়েছে সেভাবে সব সময় ত্রিভুজ নাও থাকতে পারে। একটি ত্রিভুজকে যে ভাবেই রাখা হোক না কেন বা আঁকা হোক না কেন, সমকোণ চিহ্নিত কোণের বিপরীত বাহুটি হবে অতিভুজ। নীচের উদাহরণটি দেখুনঃ
Find the value of [latex]w[latex] in the above triangle.
[latex]a[latex]2+ [latex]b[latex]2= [latex]c[latex]2
[latex]5[latex]2+ [latex]12[latex]2 =[latex]w[latex]2
[latex]25[latex] + [latex]144[latex] = [latex]w[latex]2
[latex]169[latex] =[latex]w[latex]2
[latex]13[latex] =[latex]w[latex]
Common Right Triangles and Pythagorian Triples
কিছু বিশেষ ধরণের সমকোণী ত্রিভুজ থেকে পরীক্ষায় বেশি প্রশ্ন আসতে দেখা যায়। নিচের তালিকায় সেগুলো দেখানো হলো। প্রথমে দেখানো হয়েছে Common Combinations, যাকে বিভিন্ন পূর্ণ সংখ্যা দিয়ে গুণ করে পরে দেখানো হয়েছে। উদাহরণ স্বরূপ, প্রথম ত্রিভুজে [latex]3-4-5[latex] বলতে বোঝানো হয়েছে যে, এই ত্রিভুজের বাহুগুলো পরষ্পর [latex]3:4:5[latex] অনুপাতে যুক্ত। যেহেতু এরা অনুপাতে যুক্ত, আমরা [latex]3:4:5[latex] কে [latex]6:8:10[latex] হিসাবেও লিখতে পারি।
Type 1: Sides are 3-4-5
- পরীক্ষায় এ ধরণের ত্রিভুজ থেকে সবচেয়ে বেশি প্রশ্ন আসতে দেখা যায়
- [latex]3[latex]2+ [latex]4[latex]2= [latex]5[latex]2 ([latex]9 + 16 = 25[latex])
- Key multiples are: [latex]6-8-10[latex] and [latex]9-12-13[latex]
- No need to know about angles।
Type 2: Sides are 1-1-√2
- পরীক্ষায় এ ধরণের ত্রিভুজ থেকেও সবচেয়ে বেশি প্রশ্ন আসতে দেখা যায়
- ([latex]1[latex])2+ ([latex]1[latex])2= (√[latex]2[latex])2 ([latex]1+ 1= 2[latex])
- কোণগুলো হলো [latex]45-45-90[latex] অর্থাৎ এরা সমদ্বিবাহু সমকোণী ত্রিভুজ।
- Key multiples are: [latex]2-2-2[latex]√[latex]2[latex] বা [latex]x-x-[latex]√[latex]2x[latex]
- কোন বর্গক্ষেত্রের তার কর্ণ বরাবর দুই ভাগ করে ফেললে এ ধরণের ত্রিভুজ উৎপন্ন হয়। বর্গের প্রতি কোণ যেহেতু [latex]90[latex]°, এ কারণে এ ধরণের ত্রিভুজের সমান কোণ দুইটি হয় [latex]90[latex]° এর অর্ধেক বা [latex]45[latex]°।
Type 3: Sides are 5-12-13
- পরীক্ষায় এ ধরণের ত্রিভুজ থেকে অপেক্ষাকৃত কম প্রশ্ন আসতে দেখা যায়
- ([latex]5[latex])2+ ([latex]12[latex])2= ([latex]13[latex])2
- Key multiples are: [latex]5x-12x-13x[latex]
Type 4: Sides are 1--2
- পরীক্ষার জন্য খুবই গুরুত্বপূর্ণ।
- [latex](1)[latex]2+ = [latex](2)[latex]2
- কোণ তিনটির মধ্যে সম্পর্ক হলো [latex]30-60-90[latex]
- Key multiples are: [latex]x-[latex]√[latex]3x-2x[latex]
Isosceles Triangles and the [latex]45-45-90[latex] Triangle
যে ত্রিভুজের দুই বাহু সমান তাকে সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বা isosceles (উচ্চারণ: আইসো-সেলেয) বলে। দুই বাহু সমান বলে এদের দুইটি বিপরীত কোণও সমান হয়। যে সমকোণী ত্রিভুজের দুই বাহু সমান তাকে isosceles right triangle বা সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ বলে। এ ধরণের ত্রিভুজের একটি কোণ [latex]90[latex]° হয় ও বাকী দুইটির প্রত্যেকে [latex]45[latex]° হয়।
The lengths of the legs of every [latex]45-45-90[latex] triangle have a specific ratio, which you must memorize:
Angles: [latex]45[latex]° [latex]45[latex]° [latex]90[latex]°
Legs: [latex]1[latex] [latex]1[latex] [latex]\sqrt { 2 }[latex]
Or: [latex]x[latex] [latex]x[latex] [latex]x\sqrt { 2 }[latex]
সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্রঃ
If the length of the equal sides of an isosceles is [latex]a[latex] and that of the third side is [latex]b[latex], (as in the figure below) then its area is calculated as this:
Area = [latex]\frac { 8 }{ 4 } \sqrt { { 4a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } }[latex]
If the median of an isosceles is known, its area can be calculated as:
Area = [latex]\frac { 1 }{ 2 } base\times median[latex] (নীচের ছবিতে দেখুন).
Equilateral Triangles (সমবাহু ত্রিভুজ)and the [latex]30-60-90[latex] Triangle
যে ত্রিভুজের তিনটি বাহুই সমান তাকে সমবাহু ত্রিভুজ বা equilateral triangle (উচ্চারণ: ইকুইল্যাটেরাল) বলে। বাহু তিনটি সমান বলে এদের কোণ তিনটিও সমান হয়, এবং প্রত্যেকেই [latex]180[latex]° এর তিন ভাগের এক ভাগ বা [latex]60[latex]°।
সমবাহু ত্রিভুজ এর যে কোন বাহুর উপরে যদি বিপরীত শীর্ষ থেকে লম্ব টানা হয় তবে সেই লম্বটি মূল ত্রিভুজকে [latex]30-60-90[latex] ধরণের দুইটি ত্রিভুজে ভাগ করে। আমরা জানি যে, [latex]30-60-90[latex] ত্রিভুজের বাহুগুলো হয় [latex]1[latex]:√[latex]3:2[latex], কাজেই এটা কীভাবে মূল ত্রিভুজ থেকে উৎপন্ন হয় তা নীচের ছবিতে দেখানো হলো।
কুইজঃ
Given that the short leg of a [latex]30-60-90[latex] triangle has a length of [latex]6[latex], what are the lengths of the long leg and the hypotenuse?
The short leg, which is opposite the [latex]30[latex] degree angle, is [latex]6[latex]. We use the ratio [latex]1[latex]:√[latex]3: 2[latex] to determine that the multiplier [latex]x[latex] is [latex]6[latex]. We then find that the sides of the triangle have lengths [latex]6:6[latex]√[latex]3:12[latex]. The long leg measures [latex]6[latex]√[latex]3[latex] and the hypotenuse measures [latex]12[latex].
দেওয়া আছে কোন equilateral triangle এর বাহুর দৈর্ঘ্য [latex]10[latex]; তাহলে তার উচ্চতা কত হবে?
Looking at the equilateral triangle above, we can see that the side of an equilateral triangle is the same as the hypotenuse of a [latex]30-60-90[latex] triangle. Additionally, the height of an equilateral triangle is the same as the long leg of a [latex]30-60-90[latex] triangle. Since we are told that the hypotenuse is 10, we use the ratio [latex]x[latex]: [latex]x[latex]√[latex]3[latex]: [latex]2x[latex] to set [latex]2x = 10[latex] and determine that the multiplier [latex]x[latex] is [latex]5[latex]. We then find that the sides of the [latex]30-60-90[latex] triangle have lengths [latex]5[latex] : [latex]5[latex]√[latex]3[latex]: [latex]10[latex].
Thus, the long leg has a length of [latex]5[latex]√[latex]3[latex], which is the height of the equilateral triangle.
মন্তব্যঃ ত্রিকোণমিতির সূত্র প্রয়োগ করে এ ধরণের অঙ্ক কয়েক সেকেন্ডের মধ্যেই করে ফেলা যায়। ত্রিকোণমিতির আলোচনা এই বইয়ের সাথে প্রদত্ত ডিস্কে ভিডিওতে দেখুন।
Area of equilateral triangle
[latex]a[latex] বাহু বিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্ররফল হলো [latex]\frac { \sqrt { 3 } }{ 4 } { a }^{ 2 }[latex]
মন্তব্য:
- ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করার সাধারণ সূত্র [latex]\frac { 1 }{ 2 } base\times heights[latex] -এ ভূমি [latex]a[latex] এবং উচ্চতা √[latex]3a[latex] বসালে দেখবেন উপরের রাশিটি পাওয়া যায়।
- আবার, ক্ষেত্রফলের অপর সূত্র [latex]\sqrt { s\left( s-a \right) \left( s-b \right) \left( s-c \right) }[latex] এর মধ্যে অর্ধপরিসীমা [latex]s[latex] এর স্থলে [latex]\frac { a+a+a }{ 2 }[latex] এবং [latex]a[latex], [latex]b[latex] ও [latex]c[latex] প্রত্যেকের স্থলে [latex]a[latex] বসালেও উপরের রাশিটি পাওয়া যায়।
- আবার, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সূত্র [latex]\frac { b }{ 4 } \sqrt { { 4a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 } }[latex] এর মধ্যে [latex]b[latex] এর স্থলে [latex]a[latex] বসিয়েও উপরের রাশিটি পাওয়া যায়।
[latex]30-60-90[latex] ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করার বিশেষ কৌশলঃ
উপরের ছবিটি ভালো করে দেখুন। একটি সমবাহু ত্রিভুজকে কেটে অর্ধেক করে আমরা দুইটি সমান [latex]30-60-90[latex] ত্রিভুজ পেলাম। কাজেই, সমবাহু ত্রিভুজের একটা বাহু ([latex]a[latex]) জানা থাকলে আমরা যেমন ওই সমবাহু ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল বের করে ফেলতে পারি, [latex]30-60-90[latex] ত্রিভুজের অতিভুজ বা [latex]30[latex]° কোণের বিপরীত বাহুটি দেওয়া থাকলেও আমরা তার ক্ষেত্রফল বের করে ফেলতে পারি।
(ক) যদি অতিভুজ দেওয়া থাকে, তাহলে সেটি হবে মূল ত্রিভুজের এক বাহুর সমান ([latex]a[latex])। কাজেই, মূল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যেখানে [latex]\frac { \sqrt { 3 } }{ 4 } { a }^{ 2 }[latex] আমাদের নির্ণেয় [latex]30-60-90[latex] ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হবে এই আয়তনের অর্ধেক, অর্থাৎ [latex]\frac { \sqrt { 3 } }{ 8 } { a }^{ 2 }[latex]
(খ) যদি [latex]30[latex] কোণের বিপরীত বাহু দেওয়া থাকে, তাহলে সেটি হবে মূল ত্রিভুজের এক বাহুর ([latex]a[latex]) অর্ধেক। কাজেই আমরা প্রথমে সেই বাহুর দৈর্ঘ্যকে দ্বিগুণ করে নিয়ে [latex]a[latex] এর মান পাবো, যাকে উপরের (ক) তে বর্ণিত সূত্রে ফেলে দিয়ে সহজেই [latex]30-60-90[latex] ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বের করা যাবে।
