[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (3) Number Properties বিভাগের অধীনে 〈5〉Exponents and roots চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈3.5.a〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]
〈3.5.a〉সূচক এবং বর্গমূল সম্পর্কিত আলোচনা
- Increasing power cause positive fraction to decrease.
- ধনাত্মক ভগ্নাংশকে যত ছোট power এ উন্নীত করা হয় তার মান তত বড় হয় এবং বড় হতে হতে সেটি সর্বোচ্চ পর্যন্ত যেতে পারে কিন্তু কিছুতেই ১ এর উপরে যাবেনা।
Exponents বা সূচক/ঘাত
একই সংখ্যা (বা variable) কে বারবার নিজেকে দিয়ে গুণ করার পরিবর্তে exponent এর সাহায্যে তা প্রকাশ করা হয়।
The mathematical expression [latex]{ 4 }^{ 3 }[latex] consists of a base ([latex]4[latex]) and an exponent ([latex]3[latex]). এই প্রকাশটির অর্থ হলোঃ
[latex]{ 4 }^{ 3 }=4*4*4=64[latex]
Two exponents have-special names: the exponent [latex]2[latex] is called the square, and the exponent [latex]3[latex] is called the cube.
[latex]{ 5 }^{ 2 }[latex] কে পড়া হয় five to the power two অথবা five squared [latex]{ 5 }^{ 3 }=5*5*5=125[latex] .
Likewise, [latex]{ 8 }^{ 3 }[latex] কে পড়া হয় eight to the power three অথবা eight cubed |
All About The Base: The Sign Of The Base
The base of an exponential expression may be either positive or negative. With a negative base, simply multiply the negative number as many times as the exponent requires.
For example:
[latex]{ -4 }^{ 2 }=(-4)*(-4)=16[latex]
[latex]{ -4 }^{ 3 }=(-4)*(-4)*(-4)=-64[latex]
Consider this problem:
If , [latex]{ x }^{ 2 }[latex] is [latex]x[latex] equal to [latex]4[latex]?
ফাঁদে পা দিবেননাঃ [latex]x[latex] may not be [latex]4[latex]; it may be [latex]-4[latex].
The even exponent is dangerous: এটা base এর প্রকৃত চিহ্নকে লুকিয়ে রাখে।
প্রথমে কিছু উদাহরণ দেওয়া যাক।
Examples:
[latex]{ 3 }^{ 2 }=9[latex] (positive base, positive result)
[latex]{ -3 }^{ 2 }=9[latex] (negative base, positive result)
[latex]{ 3 }^{ 3 }=27[latex] (positive base, positive result)
[latex]{ -3 }^{ 3 }=-27[latex] (negative base, negative result)
আমরা দেখতে পাচ্ছি, পাওয়ার [latex]2[latex] থাকার কারণে নেগেটিভ চিহ্নটি উত্তরে গিয়ে পজেটিভ হয়ে যাচ্ছে। কিন্তু পাওয়ার [latex]3[latex] থাকলে নেগেটিভ চিহ্ন নেগেটিভই থাকছে। এটা কেবল [latex]2[latex] বা [latex]3[latex] এর জন্যেই নয়, বরং যে কোন জোড় ও বেজোড় পাওয়ারের জন্যে প্রযোজ্য।
যদি বলা হয় [latex]n[latex] হলো [latex]2m+1[latex], তাহলে [latex]{ -p }^{ n }[latex] এর সাইন কি হবে?
এখানে স্পষ্টতঃ [latex]2m[latex] হলো যে কোন জোড় সংখ্যা, যার সাথে [latex]1[latex] যোগ করে একটি বেজোড় পাওয়া যায়। অর্থাৎ [latex]2m+1[latex] বা [latex]n[latex] হলো বেজোড়। কাজেই, নেগেটিভের বেজোড় পাওয়ার দেওয়া হলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি নেগেটিভই হবে।
A Base Of [latex]0, 1[latex] Or [latex]-1[latex]
- An exponential expression with a base of [latex]0[latex] always yields [latex]0[latex], regardless of the exponent.
- An exponential expression with a base of [latex]1[latex] always yields [latex]1[latex], regardless of the exponent,
- An exponential expression with a base of [latex]-1[latex] yields [latex]1[latex], when the exponent is even, and yields [latex]-1[latex], when the exponent is odd.
For example, [latex]{ 0 }^{ 3 }=0*0*0=0[latex] and [latex]{ 0 }^{ 4 }=0*0*0*0=0[latex]
Similarly, [latex]1=1*1*1=1[latex] and [latex]{ 1 }^{ 4 }=1*1*1*1=1[latex].
Finally, [latex]{ -1 }^{ 3 }=(-1)*(-1)*(-1)=-1[latex], but [latex]{ -1 }^{ 4 }=(-1)*(-1)*(-1)*(-1)=1[latex].
Thus, if you are told that [latex]{ x }^{ 6 }={ x }^{ 7 }={ x }^{ 15 }[latex], you know that [latex]x[latex] must be either [latex]0[latex] or [latex]1[latex]. Do not try to do algebra on the equation. Simply plug [latex]0[latex] and [latex]1[latex] to check that the equation makes sense.
Note that: [latex]-1[latex] does not fit the equation, since [latex]{ -1 }^{ 6 }=1[latex], but [latex]{ -1 }^{ 7 }=-1[latex].
A Fractional Base
Base যদি positive proper fraction হয় (অন্য কথায় বলতে গেলে, a fraction between [latex]0[latex] and [latex]1[latex]), an interesting thing occurs: as the exponent increases, the value of the expression decreases:
[latex]{ (3/4) }^{ 1 }=3/4[latex]
then, [latex]{ (3/4) }^{ 2 }=9/16[latex]
then, [latex]{ (3/4) }^{ 3 }=27/64[latex]
প্রাপ্ত নতুন তিনটি fractions থেকে দেখা যাবে, [latex]3/4>9/16>27/64[latex] অর্থাৎ, Increasing powers cause positive fractions to decrease.
For positive proper fraction, higher power means lower value.
Let us arrange the following five numbers: [latex]{ (2/7) }^{ 5 }[latex]; [latex]{ (2/7) }^{ 10 }[latex]; [latex]{ (2/7) }^{ 1/3 }[latex]; [latex]{ (2/7) }^{ 1/100 }[latex]; [latex]{ (2/7) }^{ 2 }[latex]
ধনাত্মক ভগ্নাংশকে যত ছোট power এ উন্নীত করা হয় তার মান তত বড় হয়, এবং বড় হতে হতে সেটি সর্বোচ্চ 1 র্পযন্ত যেতে পারে, কিন্তু কিছুতেই 1 এর উপরে যাবে না।
Rules of exponent (Please memorize):
A Compound Base
When the base of an exponential expression is a product, we can multiply the base together and then raise it to the exponent, OR we can distribute the exponent to each number in the base.
[latex]{ (2*5) }^{ 3 }={ 10 }^{ 3 }=1,000[latex]
OR [latex]{ (2*5) }^{ 3 }={ 2 }^{ 3 }*{ 5 }^{ 3 }=1,000[latex]
You cannot do this with a sum, however. You must add the numbers inside the parentheses first.
Nested Exponents
A base raised to “nested” exponents বলতে বোঝায়, ব্রাকেটের মধ্যে একটি পাওয়ার আছে, এবং ব্রাকেটের বাইরেও একটি পাওয়ার আছে। [latex]{ { 3 }^{ 2 } }^{ 4 }[latex]
When we apply two exponents in a row to one base, we multiply the exponents.
[latex]{ { 3 }^{ 2 } }^{ 4 }=({ 3 }^{ 2 })({ 3 }^{ 2 })({ 3 }^{ 2 })({ 3 }^{ 2 })[latex]
=[latex](3*3)(3*3)(3*3)(3*3)[latex]
=[latex]3*3*3*3*3*3*3*3={ 3 }^{ 8 }={ 3 }^{ 2*4 }[latex]
The Sign Of The Exponent
An exponent is not always positive. What happens if the exponent is negative?
[latex]{ 5 }^{ -2 }=1/({ 5 }^{ 2 })[latex] ;
অর্থাৎ, যদি পাওয়ারটি নেগেটিভ হয়, তাহলে base টিকে [latex]1[latex] এর নীচে fraction হিসাবে লিখে পাওয়ারটিকে denominator (হর) এর উপরে দিতে হবে।
সুতরাং আমরা লিখতে পারিঃ
[latex]{ 3/4 }^{ -4 }={ 5/3 }^{ 4}[latex]
An Exponent Of [latex]1[latex] and [latex]0[latex]
কোন কিছুর পাওয়ার [latex]1[latex] থাকলে তার মানের কোন পরিবর্তন হয় না।
[latex]{ 3 }^{ 1 }=3[latex]
[latex]{ 4 }^{ 1 }=4[latex]
[latex]{ -6 }^{ 1 }=-6[latex]
কোন কিছুর পাওয়ার শূন্য হলে তার মান [latex]1[latex] হয়ে যায়। তবে শর্ত হলো, base টি নিজে শূন্য হতে পারবেনা।
[latex]{ 3 }^{ 0 }=1[latex]
[latex]{ 4 }^{ 0 }=1[latex]
[latex]{ -6 }^{ 0 }=1[latex]
Fractional Exponents
যদি পাওয়ার নিজেই একটি fraction হয় তাহলে তা উক্ত বেজ এর উপরে root এবং power উভয়েরই effect ফেলে; যা নিয়ে আমরা পরে আলোচনা করবো।
পাওয়ার যেহেতু fraction, denominator আমাদেরকে নির্দেশ দেয় যে ”বেজটিকে অত পাওয়ারে উন্নীত কর”আর denominator আমাদের নির্দেশ দেয়, “বেজটিকে অত তম মূলে নামিয়ে দাও”।
What is [latex]{ 25 }^{ 3/2 }[latex]?
The numerator of the fraction is 3, so we should raise 25 to the 3rd power. The denominator is 2, so we need to take the square root of 253. Note that we can rewrite [latex]\sqrt { { 25 }^{ 3 } } as \sqrt{ { { 5 }^{ 2 } }^{ 3 } }[latex]
[latex]{ 25 }^{ 3/2 }=\sqrt { { 25 }^{ 3 } }=\sqrt{ { { 5 }^{ 3 } }^{ 2 } }={ 5 }^{ 3 }=125[latex]
When Can You Simplify Exponential Expressions
(1) You can only simplify exponential expressions that are linked by multiplication or division. You cannot simplify expressions linked by addition or subtraction (although in some cases, you can factor them and otherwise manipulate them),
(2) You can simplify exponential expressions linked by multiplication Or division if they have either a base or an exponent in common.
How Can You Simplify Them?
Use the exponent rules described earlier. If you forget these rules, you can derive them on the test by writing out the example exponential expressions.
কুইজঃ
If [latex]x={ 4 }^{ 20 }+{ 4 }^{ 21 }+{ 4 }^{ 22 }[latex], what is the largest prime factor of [latex]x[latex]?
All three terms contain [latex]{ 4 }^{ 20 }[latex], so we can factor the expression: [latex]x={ 4 }^{ 20 }({ 4 }^{ 0 }+{ 4 }^{ 1 }+{ 4 }^{ 2 })[latex]. Therefore, [latex]x={ 4 }^{ 20 }(1+4+16)={ 4 }^{ 20 }(21)={ 4 }^{ 20 }(3*7)[latex]. The largest prime factor of [latex]x[latex] is [latex]7[latex].
ROOTS বা মূল
A root (also called a radical) is the opposite of an exponent, in a sense. একটি সংখ্যা (ধরা যাক [latex]p[latex]) এর [latex]n[latex] তম মূল হলো ওই সংখ্যা (যাকে [latex]\sqrt [ n ]{ p })[latex] দিয়ে প্রকাশ করা হয়), যার নিজেকে [latex]n[latex] বার গুণ করলে [latex]p[latex] সংখ্যাটি পাওয়া যায়। যেমনঃ√64=8
Roots and Fractional Exponents
As we discussed in the previous chapter, fractional exponents are the link between roots and exponents. Within the exponent fraction, the numerator tells us what power to raise the base to, and the denominator tells us which root to take. You can raise the base to the power and take the root in EITHER order. নীচের প্রশ্নটি লক্ষ্য করা যাকঃ
What is [latex]{ 216 }^{ 1/3 }[latex]?
The numerator of the fraction is 1, so we should not raise the base to any power. The denominator is 3, so we need to take the 3rd (cube) root of 2161 In order to determine that root, we should break. 216 into prime factors:
[latex]216=3*3*3*2*2*2={ 6 }^{ 3 }[latex]
The 3rd root of [latex]216[latex] is [latex]6[latex], so [latex]6[latex] is the value of [latex]{ 216 }^{ 1/3 }[latex].
You should know how to express fractional exponents in terms of roots and powers, but you should also know how to express roots as fractional exponents. The resulting expression may be much easier to simplify. শুধু মনে রাখতে হবে যে, a root becomes the denominator of a fractional exponent.
Simplifying a Root
অনেক সময় রুট চিহ্নেরমধ্যে দুইটি আলাদা সংখ্যা থাকে। অনেক ক্ষেত্রেই এদেরকে আলাদা করে নিয়ে তার উপরে রুট প্রয়োগ করলে অঙ্কটি করা সহজহয়।
At other times, the opposite is true: you have two roots that you would like to simplify by combining them under one radical sign.
Squares and Square Roots বিষয়ক কিছু সংখ্যা মনে রাখা চাই।
কিছু সংখ্যার square root জানা থাকা দরকার।
অনেক স্টুডেন্ট অভিযোগ করেন, [latex]5, 6, 7, 8[latex] এই চারটি সংখ্যার স্কয়্যার রুট কিছুতেই মনে থাকেনা। আসলে এদেরকে মনে রাখার একটা কৌশল আছে, যা নীচে বলা হলো।
লক্ষ্য করুন: [latex]1, 4[latex] ও [latex]9[latex] নিজে বর্গ সংখ্যা বলে তাদের মূল আমরা সবাই জানি। [latex]2[latex] ও [latex]3[latex] এর বর্গমূল অবশ্যই মুখস্থ রাখা চাই। [latex]4[latex] এবং [latex]9[latex] এর মধ্যবর্তী চারটি সংখ্যার বর্গমূল চারটি [latex]2[latex] ও [latex]3[latex] এর মাঝামাঝি, এবং প্রত্যেকের মান দশমিকের পরে [latex]2[latex] করে বাড়ে; যথা [latex]2.2, 2.4, 2.6[latex] এবং [latex]2.8[latex]। এটা মনে রাখতে পারলেই দেখবেন রুট গুলো মনে থাকছে। চট করে যদি জিগ্যেস করা হয় [latex]7[latex] এর রুট কত, হুট করে বলার দরকার নেই, বরং গুণে গুণে [latex]4[latex] থেকে উপরে আসতে থাকুন, দেখবেন সহজেই বলতে পারছেন।
Decimal এর Powers And Decimal এর Roots(অতি অতি গুরুত্বর্পূণ)
To square or cube a decimal, you can always simply multiply it by itself once or twice.
However, to raise a decimal to a larger power, you can rewrite the decimal as the product of an integer and a power of ten, and then apply the exponent.
[latex]{ 0.5 }^{ 4 }[latex]=?
Rewrite the decimal: [latex]0.5=5*{ 10 }^{ -1 }[latex]
Apply the exponent to each part: [latex]{ \left( { 5*10 }^{ -2 } \right) }^{ 4 }={ 5 }^{ 4 }*{ 10 }^{ -4 }[latex]
দুইটি অংশ আলাদাভাবে হিসাব করুন, এবং তারপর গুণ করুন:
[latex]{ 5 }^{ 4 }=25=625[latex]
[latex]625*{ 10 }^{ -4 }=0.0625[latex]
Roots সংক্রান্ত অঙ্কগুলোও একই ভাবে সমাধান করা যায়।
Recall that a root is a number raised to a fractional power: a square root is a number raised to the [latex]1/2[latex] power, a cube root is a number raised to the [latex]1/3[latex] power, etc.
[latex]\sqrt [ 3 ]{ 0.000027 }[latex] = ?
সমাধানঃ Rewrite the decimal. Make the first number something you can take the cube root of easily:[latex]0.000027=27*{ 10 }^{ -6 }[latex]
Write the root as a fractional exponent:
[latex]{ 0.000027 }^{ 1/3 }[latex]
[latex]{ \left( 27*{ 10 }^{ -6 } \right) }^{ 1/3 }[latex]
Apply the exponent to each part:
= [latex]{ 27 }^{ 1/3 }*{ \left( { 10 }^{ -6 } \right) }^{ 1/2 }[latex]
= [latex]{ 27 }^{ 1/3 }*{ 10 }^{ -2}[latex]
= [latex]3*{ 10 }^{ -2}[latex]
= [latex]0.03[latex]
Once you understand the principles, you can take a shortcut by counting decimal places.
