[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (3) Number Properties বিভাগের অধীনে 〈3〉Primes and Signed Numbers চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈3.3.a〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]
〈3.3.a〉প্রাইম সম্পর্কিত প্রাথমিক ধারণা এবং কিছু বিশেষ পদ্ধতি
Primes বা মৌলিক সংখ্যা
A prime number is any positive integer larger than [latex]1[latex] with exactly two factors: [latex]1[latex] and itself.
In other words, a prime number has NO factors other than [latex]1[latex] and itself. অর্থাৎ prime number কে [latex]1[latex] এবং সেই সংখ্যা ছাড়া অন্য কোন সংখ্যা দিয়ে ভাগ করা যায় না।
For example, [latex]7[latex] is prime because the only factors of [latex]7[latex] are [latex]1[latex] and [latex]7[latex]. However, [latex]8[latex] is not prime because it is divisible by [latex]2[latex] and [latex]4[latex].
The number [latex]1[latex] is not considered prime, as it has only one factor (itself). Thus, the first prime number is [latex]2[latex], which is also the only even prime. The first ten prime numbers are [latex]2,3,5,7, 11, 13, 17, 19, 23[latex], and [latex]29[latex]. You should memorize these primes.
Composite number
প্রাইম সংখ্যা আর শূন্য বাদে সব সংখ্যাকে যৌগিক সংখ্যা বা composite নম্বর বলে। যেমন [latex]4, 15, 276[latex] ইত্যাদি।
শূন্য কি প্রাইম নাকি কম্পোজিট?
শূন্য আসলে প্রাইম বা কম্পোজিট কিছুই না। শূন্য হলো জাস্ট শূন্য।
নেগেটিভ সংখ্যা কি প্রাইম হতে পারে?
না, নেগেটিভ সংখ্যা প্রাইম হতে পারে না। উদাহরণ স্বরূপ যদি প্রশ্ন করা হয় 10 সংখ্যাটির Prime factor আছে কতগুলো, তবে তার উত্তর হবে মাত্র একটি। এর কারণ 10 সংখ্যাটির factors হলো [latex]+10,\quad +5,\quad +2,\quad +1,\quad -1,\quad -2,\quad -5,\quad -10[latex] এই আটটি, যাদের মধ্যে চারটি নেগেটিভ বলে প্রাইম হতে পারছে না। বাকী চারটি পজিটিভ ফ্যাক্টরের মধ্যে কেবল 2 হলো প্রাইম নম্বর, বাকীগুলো composite number.
Prime Factorization
কোন সংখ্যার কতটি prime factors আছে তা বের করার সহজ একটি কৌশল আছে। এটা করতে হলে একটা ” prime factor tree ”, বানাতে হবে, যেটা নীচে দেখানো হলো। আমরা উদাহরণ হিসাবে এখানে [latex]72[latex] সংখ্যাটি দেখাবো। প্রথমে সংখ্যাটি লিখুন এবং তাকে যে কোন দুই ভাগে ভাগ করুন। যেমন, ছবিতে [latex]72[latex] এর নীচে দুই পাশে [latex]6[latex] ও [latex]12[latex] দেখানো হয়েছে, কারণ এদের গুণফল [latex]72[latex]। এরপর [latex]6[latex] যেহেতু একটি মৌলিক সংখ্যা না, আমরা [latex]6[latex] কে আবারো ভাংলাম দুটি মৌলিক সংখ্যার গুণফল [latex]2,3[latex] এভাবে। অন্য পাশে [latex]12[latex] কে লেখা হলো [latex]2,2,3[latex] এর গুণফল হিসাবে। In this example, [latex]72[latex] splits into [latex]5[latex] total prime factors (including repeats): [latex]2\times3\times2\times2\times3=72[latex]
Special Note: Prime factorization is an extremely important tool to use on the IBA and other Admission Tests. One reason is that once we know the prime factors of a number, we can determine ALL the factors of that number, even large numbers. The factors can be found by building all the possible products of the prime factors.
Other uses of ” prime factor tree ”:
(1) Determining whether one number is divisible by another number
(2) Determining the greatest common factor of two numbers
(3) Reducing fractions
(4) Finding the least common multiple of two (or more) numbers
(5) Simplifying square roots
(6) Determining the exponent on one side of an equation with integer constraints
Factor Foundation Rule
যদি [latex]b[latex] এর একটি factor [latex]a[latex] হয় এবং [latex]c[latex] এর একটি ফ্যাক্টর [latex]b[latex] হয়, তাহলে [latex]c[latex] এর একটি ফ্যাক্টর হবে [latex]a[latex] । রূপক অর্থে বলতে গেলে, যদি একটা বিভাগকে কতগুলো জেলায় বিভক্ত করা যায় এবং একটি দেশকে কতগুলো বিভাগে বিভক্ত করা যায়, তাহলে একটি দেশকে কতগুলো জেলায় বিভক্ত করা যাবে। মনে রাখবেন any integer is divisible by all of its factors, and it is also divisible by all of the FACTORS of its factors.
উদাহরন স্বরূপঃ [latex]72[latex] is divisible by [latex]12[latex], কাজেই [latex]72[latex] is also divisible by all the factors of [latex]12[latex] (যারা হচ্ছে [latex]1, 2, 3, 4, 6[latex] এবং [latex]12[latex]). Factor Foundation Rule এর মূল কথা হচ্ছে factors যেন কোন কাঠামোর (মূল সংখ্যাটির) বিল্ডিং ব্লক। [latex]12[latex] and [latex]6[latex] are factors, or building blocks, of [latex]72[latex] (because [latex]12*6[latex] builds [latex]72[latex]).
Prime Box
The easiest way to work with the Factor Foundation Rule is with a tool called a Prime Box. Prime Box নাম থেকেই বোঝা যাচ্ছে বিষয়টা কি হবে। এটা হলো এমন একটা “বক্স” যা কোন সংখ্যার সবগুলো prime factors কে ধারণ করে। অন্য কথায় বলতে গেলে, এটা যেন lowest-level building blocks ধারণকারী বক্স। নীচে [latex]72, 12[latex] ও [latex]125[latex] এর prime box দেখানো হল।
সতর্কতা: একই prime সংখ্যার একাধিক কপি পেলে তার সবগুলো পুনরাবৃত্তি করে লিখতে হবে। এ কারণে শেষের সংখ্যা [latex]125[latex] এর ক্ষেত্রে আমরা শুধু [latex]5[latex] লেখার পরিবর্তে [latex]5,5,5[latex] এভাবে লিখেছি।
You can use the “prime box” to test whether or not a specific number is a factor of another number. প্রশ্নটি দেখুন Is 27 a factor of 72?
[latex]27[latex] এর prime box -র মধ্যে থাকবে [latex]3*3*3[latex]। কিন্তু উপরের [latex]72[latex] এর prime box -র মধ্যে খেয়াল করে দেখুন আমাদের সব মিলিয়ে মাত্র দুইটি [latex]3[latex] আছে, যা দিয়ে [latex]27[latex] সংখ্যাটি লেখা যায় না। সুতরাং [latex]27[latex] সংখ্যাটি [latex]72[latex] এর factor নয়।
কুইজ: n সংখ্যাটি [latex]3, 7[latex] ও 1[latex]1[latex] দিয়ে বিভাজ্য। আর কি কি সংখ্যা অবশ্যই থাকবে, যারা [latex]n[latex] এর factor?
Solution: Since we know that [latex]3, 7[latex], and [latex]11[latex] are prime factors of [latex]n[latex], we know that [latex]n[latex] must also be divisible by all the possible products of the primes in the box: [latex]21, 33,77[latex], and [latex]231[latex]. [latex]n[latex] এর মান কত তা না জেনেই আমরা চট করে বলে দিতে পারি, অন্তত চারটি সংখ্যা সম্ভব, যারা হবে [latex]n[latex] এর factor.
The Prime table:
যদি প্রশ্ন করা হয়, ৪০ থেকে ১৪০ পর্যন্ত #প্রাইম নাম্বার আছে মোট কতটি, তাহলে আমরা কীভাবে উত্তর বের করবো? এ ক্ষেত্রে গুণে গুণে ৪০ থেকে ১৪০ পর্যন্ত যাবার কোন মানে হয় না। বরং আমরা একটি বিশেষ কৌশলের আশ্রয় নেব। যে কোন ধারাবাহিক দশটি সংখ্যার মধ্যে পাঁচটি জোড় এবং একটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য বেজোড় সংখ্যা পাওয়া যাবে, যারা #প্রাইম হবে না। কাজেই, দশটি ধারাবাহিক নাম্বারের মধ্যে সর্বোচ্চ ৪ টি প্রাইম নাম্বার পাওয়া যাবে।
তো, আসুন আমরা বরং মোবাইল নম্বর মুখস্থ রাখার মতো করে মুখস্থ করে ফেলি প্রতি দশটি সংখ্যার মধ্যে কতটি প্রাইম নম্বর রয়েছে। নীচের বিশটি অঙ্ক মুখস্থ রাখুনঃ
[latex]34-223-223-31[latex]
[latex]41-131-222-14[latex]
এই সংখাগুলো নির্দেশ করে প্রথম ২০০ সংখ্যার মধ্যে প্রতি ১০টি ঘরের মধ্যে কতটি প্রাইম নম্বর আছে। আমরা এই সংখ্যাগুলো পেয়েছি নীচের টেবিলের সাহায্যেঃ
সুতরাং এখন যদি প্রশ্ন করা হয়, how many prime numbers are between [latex]20[latex] and [latex]70[latex]? তার উত্তর বের করবো আমরা এভাবেঃ
[latex]34-223-223-31[latex] Answer: [latex]2+2+3+2+2=11[latex]
To confirm primality:
There are a number of methods, but the simplest one is discussed here. It is called “trial division method”.
- Let the number is [latex]n[latex].
- Determine the root of the number, [latex]\sqrt { n }[latex]
- Divide [latex]n[latex] with the prime numbers starting from [latex]2[latex] to [latex]\sqrt { n }[latex] This is a multi-step trial division method.
- If any of these numbers (between [latex]2[latex] and [latex]\sqrt { n }[latex] can divide [latex]n[latex] completely, then [latex]n[latex] is not a prime number.
- Otherwise, [latex]n[latex] is a prime number.
Summary: a composite number should be completely divisible by a prime number smaller than its root.
Rule of [latex]6m\pm 1[latex]
A prime number should be expressed as either [latex]6m+1[latex] or [latex]6m-1[latex] Below are some example: [latex]3793[latex] is [latex]632*6+1[latex]; [latex]7877[latex] is [latex]632*6-1[latex]. This formula is not true for first two primes ([latex]2[latex] and [latex]3[latex]).
The Sum of Two Primes = An Even number?
Notice that all prime numbers are odd, except the number [latex]2[latex]. (All larger even numbers are divisible by [latex]2[latex], so they cannot be prime) Thus, the sum of any two primes will be even, unless one of those primes is the number [latex]2[latex]. So, if you see a sum of two primes that is odd, one of those primes must be the number [latex]2[latex].
Practice
If [latex]a[latex] and [latex]b[latex] are both prime numbers greater than [latex]10[latex], which of the following CANNOT be true?
I. [latex]ab[latex] is an even number.
II. The difference between [latex]a[latex] and [latex]b[latex] equals [latex]117[latex].
III. The sum of [latex]a[latex] and [latex]b[latex] is even.
(A) I only
(B) I and II only
(C) I and III only
(D) II and III only
(E) I, II and III
Since [latex]a[latex] and [latex]b[latex] are both prime numbers greater than [latex]10[latex], they must both be odd. Therefore [latex]ab[latex] must be an odd number, so statement I cannot be true.
Similarly, if [latex]a[latex] and [latex]b[latex] are both odd, then [latex]a-b[latex] cannot equal [latex]117[latex] (an odd number). This difference must be even. Therefore, Statement II cannot be true.
Finally, since [latex]a[latex] and [latex]b[latex] are both odd, [latex]a+b[latex] must be even, so Statement III will always be true. Since Statements I and II CANNOT be true, but Statement III IS true, the correct answer is (B).
Multiplying & Dividing Signed Numbers
When you multiply or divide two numbers, positive or negative, follow one simple rule:
If Signs are the same, the answer’s positive
[latex]7*8=56[latex] And
[latex](-7)*(-8)=56[latex]
but if NOT, the answer is Negative.
[latex](-7)*8=56[latex] And
[latex]7*(-8)=56[latex]
Testing Positive & Negative Cases
Some Positives & Negatives problems deal with multiple variables, each of which can be positive or negative. In these situations, you should set up a table listing all the possible positive/negative combinations of the variables, and determine what effect that would have on the question. For example:
If, [latex]ab>0[latex] which of the following must be negative?
(A) [latex]a+b[latex]
(B) [latex]\left| a \right| +b[latex]
(C) [latex]b-a[latex]
(D) [latex]a/b[latex]
(E) [latex]-a/b[latex]
সম্ভাব্য সব মান ব্যবহার করে টেবিলের সাহায্যে যেভাবে অজানা variable এর গ্রহণযোগ্য মান বের করতে হয়ঃ
Let us test each of the four possible positive/negative combinations of [latex]a[latex] and [latex]b[latex] to see whether they meet the criteria established in the question. Then we eliminate any that do not meet these criteria.
Finally, we test each of the remaining combinations in each of the answer choices. You can use a chart such as the one below to keep track of your work:
Notice that if more than one answer choice gives you the desired result for all cases, you can try another pair of numbers and test those answer choices again.
Another approach to this problem is to determine what you know from the fact that [latex]ab>0[latex]. If [latex]ab>0[latex] then the signs of [latex]a[latex] and [latex]b[latex] must both be the same (both positive or both negative). This should lead you to answer choice (E), since -: must be negative if [latex]a[latex] and [latex]b[latex] have the same sign.
