[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (1) Geometry বিভাগের অধীনে 〈1.3〉 Circle চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈1.3.a〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]
〈1.3.a〉 বৃত্ত, বৃত্তের ক্ষেত্রফল এবং অন্যান্য
Introduction
Circle বা বৃত্তের প্রতিটি বিন্দু একটি নির্দিষ্ট বিন্দু (কেন্দ্র বা center) থেকে সমান দূরত্ব রেখে চলে। নীচের যে কোন একটি জানলেই বৃত্ত সম্পর্কীয় বাকী তথ্যগুলো বের করে ফেলা যায়।
ক) circumference, পরিধি
খ) radius, ব্যাসার্ধ
গ) diameter, ব্যাস
ঘ) area, ক্ষেত্রফল
উপরে যে বৃত্তটি আঁকা হয়েছে, তারঃ
ক) কেন্দ্র বা center হলো [latex]O[latex] বিন্দু
খ) ব্যাসার্ধ (radius) হলো [latex]OC[latex]
গ) ব্যাস (diameter) বা ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ হলো [latex]AE[latex]
ঘ) ব্যাস [latex]AE[latex] অবশ্যই কেন্দ্র [latex]O[latex] দিয়ে গমন করবে
ঙ) [latex]BD[latex] হলো chord বা জ্যা
চ) এই বৃত্তে যতগুলো জ্যা আঁকা সম্ভব, তাদের মধ্যে সবচেয়ে বড় হবে [latex]AE[latex], যা এই বৃত্তের ব্যাস (diameter)।
Circumference of a Circle
The distance around a circle is termed the circumference. This is equivalent to the perimeter of a polygon. The only information you need to find the circumference of a circle is the radius of that circle.
যে কোন বৃত্তের ব্যাসার্ধ [latex]r[latex] হলে তার পরিধি হবেঃ
Circumference, [latex]C[latex] = [latex]2[latex]π[latex]r[latex]
পাই এর মান [latex]3.14[latex] নাকি [latex]22[latex]/[latex]7[latex] কোনটি ব্যবহার করবো?
পাই (π) হলো বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত, যা সর্বদাই একটি ধ্রুব সংখ্যা। [latex]7[latex] ব্যাস বিশিষ্ট বৃত্তের পরিধি সবসময় [latex]22[latex] হয় বলে π এর মান সব সময় [latex]22/7[latex] হয়। তবে একে অঙ্কের মধ্যে [latex]22/7[latex] হিসাবে নাকি [latex]3.14[latex] হিসাবে π কীভাবে লিখলে অঙ্কের জন্যে সুবিধাজনক হয়, এ বিষয়ে বিশেষ কৌশলী হতে হবে। মনে রাখবেন, অনেক সময় অঙ্কের মধ্যে [latex] 11, 22[latex] বা এরকম কোন সংখ্যা অথবা [latex] 7, 14[latex] বা [latex]7[latex] এর multiple কোন সংখ্যা থাকলে তারা পাই এর [latex]22/7[latex] এর সাথে গুণ আকারে এসে কাটাকাটি হয়ে বাদ হয়ে যায়। সেসব ক্ষেত্রে পাই এর মান [latex]3.14[latex] ব্যবহারের চেয়ে ভগ্নাংশ আকারে রাখলেই সুবিধা।
Arch length বা বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য
সম্পূর্ণ বৃত্তের পরিধি জানার পরিবর্তে অনেক সময় একটি নির্দিষ্ট অংশের দৈর্ঘ্য জানা দরকার হয়। তবে এ ক্ষেত্রে কেন্দ্রে কতটা কোণ উৎপন্ন করে উক্ত বৃত্তচাপ তৈরী হচ্ছে তা জানা প্রয়োজন।
যেমন, উপরের বৃত্তে [latex]A[latex] এবং [latex]B[latex] বিন্দু পর্যন্ত যে অংশটুকু পরিধির উপরে মোটা দাগ চিহ্নিত, তাকে আমরা chord [latex]AXB[latex] বলছি। এই chord বা বৃত্তচাপ (সংক্ষেপে , চাপ) টি কেন্দ্রে [latex]60[latex]° কোণ উৎপন্ন করছে।
সুতরাং বৃত্তের সম্পূর্ণ পরিধি, যা কেন্দ্রে [latex]360[latex]° কোণ উৎপন্ন করে, তার একটি ভগ্নাংশ হলো এই বৃত্তচাপ।
প্রথম ধাপে বৃত্তটির সম্পূর্ণ পরিধি বের করা যাকঃ [latex]2[latex]π[latex]r[latex] = [latex]2[latex](π)([latex]12[latex]) = [latex]24[latex]π
দ্বিতীয় ধাপে আমরা বের করবো ওই চাপটি তৈরী করতে যে কোণ কেন্দ্রে উৎপন্ন হয়েছে তা [latex]360[latex]° এর কত ভাগ। [latex]60[latex]° হলো [latex]360[latex]° এর [latex]60[latex]°/[latex]360[latex]° ভাগ। কাজেই, উক্ত চাপটি হবে মোট পরিধির ছয় ভাগের এক ভাগ।
So, Arch [latex]AXB[latex] = [latex]\frac { 60 }{ 360 } 2\Pi r[latex] = [latex]4[latex]π
Sector এর ধারণা
বৃত্তাকার পিজাকে কেটে যেমন কতগুলো খন্ডতে পরিণত করা হয়, ঠিক একই ভাবে কোন বৃত্তকে দুইটি ব্যাস্যার্ধের সাহায্যে একটি খন্ড তে কেটে বিচ্ছিন্ন করা যায়, যাকে ওই বৃত্তের একটি sector বলে।
sector এর ক্ষেত্রফল বের করতে আমাদের উক্ত বৃত্তের ব্যাসার্ধ এবং দুইটি ব্যাসার্ধের মধ্যকার কোণ জানতে হবে।
Perimeter of a sector বলতে উক্ত সেক্টর যে দুইটি ব্যাসার্ধ নিয়ে গঠিত তার দৈর্ঘ্য এবং বৃত্ত চাপের দৈর্ঘের যোগফল বোঝায়।
উপরের ছবিতে Perimeter of a sector বা ছেদকের পরিসীমা দেখানো হয়েছে।
Now solve this problem:
What is the perimeter of sector [latex]ABC[latex]?
The answer is: [latex]4[latex]π + [latex]12 + 12[latex] = [latex]4[latex]π + [latex]24[latex] (Ans.)
Area of a Circle (বৃত্তের ক্ষেত্রফল)
বৃত্তের ক্ষেত্রফলের সূত্র হলো, যেখানে [latex]r[latex] হলো বৃত্তের ব্যাসার্ধ।
What is the area of a circle with a circumference of [latex]16[latex]π?
In order to find the area of a circle, all we must know is its radius. If the circumference of the circle is [latex]16[latex]π (and [latex]C[latex] = [latex]2[latex]π[latex]r[latex]), then the radius must be [latex]8[latex]. Plug this into the area formula:
[latex]A[latex] = π[latex]{ r }^{ 2 }[latex] = [latex]64[latex]π.
Area of a Sector বা ছেদকের ক্ষেত্রফল
ছেদকের ক্ষেত্রফল বের করতে হলে বৃত্তচাপ বের করার মতো করে শুরু করতে হবে। উক্ত ছেদক কেন্দ্রে কি কোণ উৎপন্ন করে, তা বৃত্তের কত অংশ তা বের করতে হবে। সব শেষে বৃত্তের মোট ক্ষেত্রফলের সাথে উক্ত ভগ্নাংশ গুণ করতে হবে।
What is the area of sector [latex]ACB[latex] (the striped region) above?
First, find the area of the entire circle : [latex]A[latex] = π[latex]{ r }^{ 2 }[latex] = [latex]9[latex]π.
Then, use the central angle to determine what fraction of the entire circle is represented by the sector. Since the sector is defined by the central angle of [latex]60[latex]°, and the entire circle is [latex]360[latex]°, the sector occupies [latex]60[latex]°/[latex]360[latex]°, or one-sixth, of the area of the circle.
Therefore, the area of sector [latex]ACB[latex] is [latex]\frac { 1 }{ 6 } \times 9[latex]([latex]9[latex]π) = [latex]1.5[latex]π
Inscribed angles and Central angles (বৃত্তের পরিধিস্থঃ কোণ ও কেন্দ্রস্থঃ কোণ)
নীচের ছবিগুলো দেখুন।
প্রথম ছবিতে [latex]AXB[latex] চাপের উপর দাঁড়ানো কেন্দ্রস্থ কোণ বা Central angle দেখানো হয়েছে। এ ক্ষেত্রে কোণটি উৎপন্ন হয়েছে কেন্দ্রে।
দ্বিতীয় ছবিতে [latex]AXB[latex] চাপের উপর দাঁড়ানো কোণটি উৎপন্ন হয়েছে পরিধির উপরে (বা, বলা হয়, বৃত্তের উপরে)। এ ধরণের কোণকে বলে Inscribed angle বা পরিধি:স্থ কোণ।
কোন বৃত্তের বৃত্তস্থ কোণ ও পরিধিস্থঃ কোণের মধ্যে সম্পর্ক হলোঃ
“বৃত্তস্থঃ কোণ পরিধিস্থঃ কোণের দ্বিগুণ”। অর্থাৎ, an inscribed angle is equal to half of the arc it intercepts.
Inscribed triangles কখন সমকোণী হয়
নীচের ছবিটি দেখুন। এখানে বৃত্তের ব্যাসের উপরে একটি ত্রিভুজ আাঁকা হয়েছে যার একটি বিন্দু পরিধির উপরে। উক্ত বিন্দুটি সমকোণ হবে। অর্থাৎ, ত্রিভুজটি সমকোণী।
এ কারণে, পরীক্ষায় যদি আমরা এ ধরণের কোন ত্রিভুজ দেখি এবং সেখানে কোণের মান বলে দেওয়া না থাকে বা সমকোণের জন্যে বিশেষ চিহ্ন দেওয়া না থাকে, তাহলেও বুঝে নিতে হবে যে ওই কোণটি সমকোণ হবে। যেমন, ছবিতে দেখুনঃ
যেহেতু বৃত্তের পরিধির উপরের কোণটি [latex]90[latex]0 হবে, অবশিষ্ট কোণ দুটির যোগফল হবে [latex]90[latex]0 (কারণ, ত্রিভুজের তিনটি কোণের যোগফল হলো [latex]180[latex]0)। এখান থেকে [latex]x[latex] এর মান বের করা যায়।
