[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (1) Geometry বিভাগের অধীনে 〈6〉Coordinate Geometry চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈1.6.a〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]
〈1.6.a〉 Coordinate Geometry (স্থানাঙ্ক জ্যামিতির আলোচনা)
Introduction:
বিভিন্ন পরীক্ষায় খুব একটা coordinate geometry প্রশ্ন আসতে দেখা যায় না। তারপরো, আমরা এই অধ্যায়ে কিছু মৌলিক বিষয় নিয়ে আলোচনা করবো যাতে স্টুডেন্টরা পরীক্ষায় এ ধরণের প্রশ্ন দেখে বিপাকে না পড়েন।
The Coordinate Plane
The coordinate plane is formed by a horizontal axis or reference line (the “[latex]x[latex] – axis”) and a vertical axis (the “[latex]y[latex]-axis”),(বাংলায় বলে, যথাক্রমে, [latex]x[latex] অক্ষ ও [latex]y[latex] অক্ষ ) as shown here.
মূলবিন্দু হতে প্রতিটি অক্ষাংশের এক দিকে পজেটিভ ও অন্য দিকে নেগেটিভ সংখ্যা দ্বারা অক্ষাংশ বা coordinate নির্দেশ করা হয়।
উপরের coordinate plane -এ চিহ্নিত বিন্দুটি [latex]x[latex] -axis এ [latex]4[latex] একক ডানদিকে বা positive চতুর্থাংশে এবং [latex]-y[latex] -axis এ [latex]5[latex] একক নীচে বা negative চতুর্থাংশে অবস্থিত বলে এর coordinate হয়েছে [latex](4, -5)[latex]।
Linear equations দ্বারা সরলরেখাকে প্রকাশ
Linear equations represent lines in the coordinate plane. Linear equations often look like this: [latex]Ax + By = C[latex], where [latex]A, B[latex], and [latex]C[latex] are numbers.
উদাহরণ স্বরূপ: [latex]6x + 3y = 18[latex] একটি সরলরেখার সমীকরণ। কোন রেখা একটি নির্দিষ্ট বিন্দু দিয়ে যায় কিনা তা প্রমাণ করার জন্যে উক্ত বিন্দুর স্থানাঙ্কটি উক্ত সমীকরণের মধ্যে বসাতে হয়। এক্ষেত্রে যদি বামপক্ষও ডানপক্ষ সমান হয় তাহলে বলা যায় যে সরলরেখাটি উক্ত বিন্দু দিয়ে গমন করে।
The Distance Between 2 Points (দুইটি বিন্দুরমধ্যে দূরত্ব নির্ণয়):
ধরা যাক দুইটি বিন্দু [latex]A (x1, y1)[latex] এবং [latex]B (x2, y2)[latex] এর মধ্যে দূরত্ব নির্ণয় করতে হবে। এক্ষেত্রে দূরত্ব হবেঃ
[latex]d[latex] = [latex]\sqrt { { { \left( { x }_{ 1 }{ – }-{ x }_{ 2 } \right) } }^{ 2 }+{ \left( { y }_{ 1 }-{ y }_{ 2 } \right) }^{ 2 } } [latex]
Quiz:
Find the distance between the points [latex] (0,2)[latex] and [latex](6,-2)[latex]
Solution:
We know that, the formula for the distance is [latex]d[latex] = [latex]\sqrt { { { \left( { x }_{ 1 }{ – }-{ x }_{ 2 } \right) } }^{ 2 }+{ \left( { y }_{ 1 }-{ y }_{ 2 } \right) }^{ 2 } } [latex]
Putting values, we get [latex]\sqrt { { \left( 0-6 \right) }^{ 2 }+{ { \left( 2-\left( -2 \right) \right) } }^{ 2 } } [latex]
= [latex] \sqrt { { \left( 0-6 \right) }^{ 2 }+{ { \left( 2-\left( -2 \right) \right) } }^{ 2 } }[latex]
= [latex] \sqrt { 36+16 }[latex] = [latex] 2\sqrt { 3 }[latex] Ans.
Find the midpoint between two coordinates (দুইটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক দেওয়া আছে, তাদের মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক বের করতে হবে)
সেক্ষেত্রে মধ্যবিন্দুর স্থানাঙ্ক হবেঃ
[latex]\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\quad \frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right)[latex]
Quiz:
Find the distance between the points [latex](2,4)[latex] and [latex](6,-2)[latex].
Solution:
We know that, the coordinate of the midpoint will be , [latex]\left( \frac { { x }_{ 1 }+{ x }_{ 2 } }{ 2 } ,\quad \frac { { y }_{ 1 }+{ y }_{ 2 } }{ 2 } \right)[latex]
Putting values we get [latex]\left( \frac { 2+6 }{ 2 } ,\quad \frac { 4+\left( -2 \right) }{ 2 } \right)[latex]
Or, the coordinate is [latex](4,1)[latex].
Area of a triangle with the help of coordinates
= [latex]\frac { 1 }{ 2 } \left[ { x }_{ 1 }{ y }_{ 2 }+{ x }_{ 2 }{ y }_{ 3 }+{ x }_{ 3 }{ y }_{ 1 }-\left( { x }_{ 2 }{ y }_{ 1 }+{ x }_{ 3 }{ y }_{ 2 }+{ x }_{ 1 }{ y }_{ 3 } \right) \right][latex]
উপরের ছবি থেকে বিষয়টা সহজে মনে রাখতে পারেন। সোজা তীর চিহ্নের সবগুলো যোগ করে তার থেকে বাঁকা তীরচিহ্নের সবগুলো বিয়োগ করতে হবে। প্রাপ্ত রাশিটিকে দুই দিয়ে ভাগ দিতে হবে। যেহেতু ক্ষেত্রফল নেগেটিভ হতে পারেনা, তাই কোন কারণে নেগেটিভ উত্তর আসলে তার শুধু মানটি গ্রহণ করে চিহ্নর ignore করতে হবে।
তিনটি বিন্দু একই সরলরেখায় আছে কিনা তার প্রমাণ
এক্ষেত্রে আমরা তিনটি বিন্দু দ্বারা ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল বেরকরবো। তিনটি বিন্দু যদি একই সরলরেখায় থাকে তাহলেতারা কোন ত্রিভুজ উৎপন্ন করতে পারবেনা, এবং তাদের দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্র ফল তাই শূন্য হবে। অর্থাৎ উপরে দেখানো সূত্র মোতাবেক ত্রিভুজের ক্ষেত্র ফল শূন্য পাওয়া যাবে।
