[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (3) Number Properties বিভাগের অধীনে 〈6〉Divisibility, Last digit চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈3.6.a〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]
〈3.6.a〉সংখ্যার বিভাজ্যতা এবং একক স্থানীয় মান নির্ণয়ের পদ্ধতি
- দুইটি integer এর যোগফল বা বিয়োগফল সব সময় আরেকটি integer হয়।
- দুইটি integer এর গুণফল সবসময় আরেকটি integer হয়।
- দুইটি integer এর ভাগফল নতুন একটি integer হতে পারে আবার একটা fraction (ভগ্নাংশ) হতে পারে।
- যদি সংখ্যাটি জোড় হয় তবে সেটি ২ দ্বারা বিভাজ্য।
- যদি সংখ্যাটি অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
- যদি সংখ্যাটিকে পর পর দুইবার ২ দিয়ে ভাগ দেয়া যায় অথবা যদি সংখ্যাটির শেষ দুই অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
- যদি সংখ্যাটির শেষে ০ অথবা ৫ থাকে তবে সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য।
- যদি সংখ্যাটি জোড় হয় এবং তার অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।
- যদি সংখ্যাটিতে ২ দিয়ে তিন বার ভাগ করা যায় অথবা যদি সংখ্যাটির শেষের তিন ডিজিট দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি ৮ দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে সংখ্যাটি ৮ দ্বারা বিভাজ্য।
- যদি সংখ্যাটির শেসে ০ থাকে তবে সংখ্যাটি ১০ দ্বারা বিভাজ্য।
- যদি সংখ্যাটির অল্টারনেটিভ অঙ্কদ্বয়ের যোগফলের ব্যবধান শূন্য অথবা ১১ হয় তবে সংখ্যাটি ১১ দ্বারা বিভাজ্য।
Integers
Integers “whole” numbers , যেমন [latex]0, 1, 2[latex], and [latex]3[latex], যাদের কোন fractional part নেই| Integers can be positive ([latex]1, 2, 3[latex] … ), negative ([latex]-1,-2,-3[latex] …), or the number [latex]0[latex].
Arithmetic Rules
Most arithmetic operations on integers will always result in an integer. For example:
দুইটি integer এর ভাগফল নতুন একটি integer হতে পারে আবার একটা fraction (ভগ্নাংশ) হতে পারে। যেমনঃ [latex]8/2=4[latex], but [latex]2/8=1/4[latex]
একটি integer কে আরেকটি integer দিয়ে ভাগ করলে যদি কোন integer পাওয়া যায় তাহলে বলা হয় যে প্রথমটা দ্বিতীয়টা দিয়ে divisible। যেমন, [latex]12[latex] is divisible by কেননা [latex]12/6=2[latex]. But, [latex]2[latex] is NOT divisible by [latex]6[latex] cause [latex]2/6=0.33[latex].
Rules of Divisibility by Certain Integers
বিভিন্ন পরীক্ষায় মাঝে মাঝেই এ ধরণের প্রশ্ন আসতে দেখা যায়, যেখানে জানতে চাওয়া হয় একটি সংখ্যা আরেকটি সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্য কি না। নীচের টেবিলের তথ্যগুলো অবশ্যই জানা থাকতে হবে।
The Divisibility Rules are important shortcuts to determine whether an integer is divisible by [latex]2, 3, 4, 5, 6, 8, 9[latex], and [latex]10[latex].
Divisible by [latex]2[latex] যদি সংখ্যাটি জোড় হয়। [latex]12[latex] is divisible by [latex]2[latex], but [latex]13[latex] is not. Integers that are divisible by [latex]2[latex] are called “even” and integers that are not are called “odd.” You can tell whether a number is even by checking to see whether the units (ones) digit is [latex]0, 2, 4, 6[latex], or [latex]8[latex].
Divisible by [latex]3[latex] যদি সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল তিন দ্বারা বিভাজ্য হয়। [latex]72[latex] is divisible by [latex]3[latex] because the sum of its digits is [latex]9[latex], which is divisible by [latex]3[latex]. By contrast, [latex]83[latex] is not divisible by [latex]3[latex], because the sum of itsdigits is [latex]11[latex], which is not divisible by [latex]3[latex].
Divisible by [latex]4[latex] যদি সংখ্যাটিকে পর পর দুই বার [latex]2[latex] দিয়ে ভাগ দেওয়া যায়। অথবা, যদি সংখ্যাটির শেষ দুই অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি [latex]4[latex] দ্বারা বিভাজ্য হয়।
[latex]28[latex] is divisible by [latex]4[latex] because you can divide it by [latex]2[latex] twice and get an integer result ([latex]28/2=14[latex] and [latex]14/2=7[latex]). For larger numbers, check only the last two digits. For example, [latex]23,456[latex] is divisible by [latex]4[latex] because [latex]56[latex] is divisible by [latex]4[latex], but [latex]25,678[latex] is not divisible by [latex]4[latex] because [latex]78[latex] is not divisible by [latex]4[latex].
Divisible by [latex]5[latex] যদি সংখ্যাটির শেষে [latex]0[latex] অথবা [latex]5[latex] থাকে| [latex]75[latex] and [latex]80[latex] are divisible by [latex]5[latex], but [latex]77[latex] and [latex]83[latex] are not.
Divisible by [latex]6[latex] যদি সংখ্যাটি জোড় হয় এবং তার অঙ্কগুলোর যোগফল [latex]3[latex] দ্বারা বিভাজ্য হয়। [latex]48[latex] is divisible by [latex]6[latex] since it is divisible by [latex]2[latex] (it ends with an [latex]8[latex], which is even) AND by ([latex]4+8=12[latex], which is divisible by [latex]3[latex]).
Divisible by [latex]7[latex] বেশ জটিল; বিভিন্ন পরীক্ষায় জন্যে জানা আবশ্যক নয়।
Divisible by [latex]8[latex] যদি সংখ্যাটিকে [latex]2[latex] দিয়ে তিন বার ভাগ করা যায়; অথবা, যদি সংখ্যাটির শেষ তিন ডিজিট দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি [latex]8[latex] দ্বারা বিভাজ্য হয়। [latex]32[latex] is divisible by [latex]8[latex] since you can divide it by 2 three times and get an integer result ([latex]32/2=16[latex], [latex]16+2=18[latex] and [latex]8/2=4[latex]). For larger numbers, check only the last [latex]3[latex] digits. For example, [latex]23,456[latex] is divisible by [latex]8[latex] because [latex]456[latex] is divisible by [latex]8[latex], whereas [latex]23,556[latex] is not divisible by [latex]8[latex] because [latex]556[latex] is not divisible by [latex]8[latex].
Divisible by [latex]9[latex] যদি সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল [latex]9[latex] দ্বারা বিভাজ্য হয়। [latex]4,185[latex] is divisible by [latex]9[latex] since the sum of its digits is [latex]18[latex], which is divisible by [latex]9[latex]. By contrast, [latex]3,459[latex] is not divisible by [latex]9[latex], because the sum of its digits is [latex]21[latex], which is not divisible by [latex]9[latex].
Divisible by [latex]10[latex] সংখ্যাটির শেষে [latex]0[latex] থাকলে [latex]670[latex] is divisible by [latex]10[latex], but [latex]675[latex] is not.
Divisible by [latex]11[latex] যদি সংখ্যাটির অল্টারনেটিভ (বা একটি বাদ দিয়ে একটি) অঙ্কদ্বয়ের যোগফলের ব্যবধান শূন্য অথবা [latex]11[latex] হয়। পাশের ছবিতে সবগুলো কালো নির্দেশিত ডিজিটগুলো যোগ করুন এবং সাদা নির্দেশিত ডিজিটগুলো যোগ করুন। তারপর এই দুই যোগফলের ব্যবধান বের করুন, যা হয় শূন্য অথবা [latex]11[latex] হবে। নতুবা সংখ্যাটি [latex]11[latex] দ্বারা বিভাজ্য হবে না।
The sum of the black digits is [latex]18[latex], and that of the white digits is [latex]7[latex]. Subtract [latex]7[latex] from [latex]18[latex], get [latex]11[latex]. So, this number is divisible by [latex]11[latex].
Here, the sum of black digits is [latex]4[latex], and so is the other. Subtract [latex]4[latex] from [latex]4[latex], which is [latex]0[latex]. So, this number is also divisible by [latex]11[latex].
Note: If you are told that a number has a ones digit equal to [latex]0[latex], you can infer that that number is divisible by [latex]10[latex]. Similarly, if you are told that the sum of the digits of [latex]x[latex] is equal to [latex]21[latex], you can infer (=ধারণা করে বুঝতে পারা) that [latex]x[latex] is divisible by [latex]3[latex] but NOT by [latex]9[latex].
The Last Digit Shortcut
অনেক সময় কতগুলো সংখ্যার গুণফল দিয়ে জানতে চাওয়া হয় যে গুণফলের একক স্থানীয় ডিজিট টি কি হবে। সেক্ষেত্রে অনেকেই পুরো অংকটি করতে গিয়ে মূল্যবান সময় নষ্ট করতে থাকে।
এ ধরণের অঙ্ক করার সময় আমরা ধাপে ধাপে গুণ করে তাদের গুণফলের কেবল শেষ (ones) ডিজিটটি বিবেচনায় নিতে হবে। সেই শেষ ডিজিটটি দিয়ে পরের সংখ্যাটার শেষ ডিজিটকে গুণ করতে হবে। এভাবে সামনে অগ্রসর হতে হবে।
What is the units digit of [latex]{ 7 }^{ 2 }*{ 9 }^{ 2 }*{ 3 }^{ 3 }[latex] ?
Step 1: [latex]{ 7 }^{ 2 }=49[latex] … last digit [latex]9[latex].
Step 2: [latex]{ 9}^{ 2 }=81[latex] … last digit [latex]1[latex].
Step 3: [latex]{ 3 }^{ 3 }=27[latex] … last digit [latex]7[latex].
Now, multiply [latex]9, 1[latex] and [latex]7[latex]. You’ll get [latex]63[latex].
So, the answer is [latex]3[latex].
বিশাল ভাগের অঙ্ককে কিভাবে শর্টকাটে করা যায়
অনেক বড় ভাগ অঙ্ক দেখলে স্টুডেন্টরা অনেক সময় ঘাবড়ে যায়। এক্ষেত্রে শর্টকাট হলো উভয় সংখ্যার ডেসিমাল পয়েন্টটিকে সমান ধাপ বামে সরিয়ে নেওয়া। ফলে মোটামুটি ছোট একটি সংখ্যা পাওয়া যেতে পারে, যার ভাগ অঙ্ক অতটা কঠিন নয়। এখানে একটি উদাহরণ দেওয়া হলো, যাতে আমরা কৌশলটি পরিষ্কার ভাবে বুঝতে পারি।
What is [latex]1,530,794 (31.49*{ 10 }^{ 4 })[latex] to the nearest whole number?
We can write [latex]31.49*{ 10 }^{ 4 }[latex] as [latex]314900[latex].
divisor সংখ্যাটির মোট ৬ টি ডিজিট। আমরা ডেসিমাল পয়েন্টকে পাঁচ ঘর বামে সরালাম, এবং ৩.১ বা সংক্ষেপে ৩ একটি সংখ্যা পাওয়া গেল। যে সংখ্যাকে ভাগ করতে হবে, তার ডেসিমাল পয়েন্টও অবশ্যই পাঁচ ঘর বামে সরাতে হবে। কাজেই আমরা ১৫.৩ বা সংক্ষেপে ১৫ ধরণের একটি সংখ্যা পেলাম। এবার ১৫ কে ৩ দিয়ে ভাগ করুন। প্রাপ্ত উত্তর অঙ্কের প্রকৃত উত্তরের অনেকটাই কাছাকাছি (আসল উত্তর ৪.৮৬)। আমাদের যেহেতু নিকটতম পূর্ণ সংখ্যা বের করতে বলেছে, ৫ ই উত্তর।
DIVISIBILITY & PRIMES STRATEGY
বিভিন্ন পরীক্ষার ম্যাথ সেকশনে একই কথা ঘুরিয়ে ফিরিয়ে আসতে পারে স্টুডেন্টদের কিছুটা বিভ্রান্তিতে ফেলে দেবার জন্যে। এরকম কয়েকটি বাক্য নীচে দেখা যাক:
Divisibility and Addition/Subtraction
Division
Do:
[latex]12.42/3[latex]
Divide normally
[latex]3[latex] ) [latex]12.42[latex] ( [latex]4.14[latex]
[latex]12[latex]
—————
[latex]04[latex]
[latex]3[latex]
————-
[latex]12[latex]
[latex]12[latex]
_________
[latex]0[latex]
কিন্তু divisor বা ভাজক (যে সংখ্যাটি দিয়ে অন্য সংখ্যাকে ভাগ করা হচ্ছে) যদি নিজেই decimal বিশিষ্ট হয়, তাহলে তাকে প্রথমে পূর্ণ সংখ্যায় নিয়ে কিন্তু divisor বা ভাজক (যে সংখ্যাটি দিয়ে অন্য সংখ্যাকে ভাগ করা হচ্ছে) যদি নিজেই decimal বিশিষ্ট হয়, তাহলে তাকে প্রথমে পূর্ণ সংখ্যায় নিয়ে আসতে হবে দশমিককে ডান দিকে সরিয়ে। যত ঘর ডানে দশমিক সরবে, তত ঘর ডানে ভাজ্যের (dividend) এর দশমিকও সরবে (অর্থাৎ দুইটি সংখ্যাকেই সমান অনুপাতে বড় করা হলো)।
PEMDAS এর [latex]M[latex] আগে, নাকি [latex]D[latex] আগে?
পাটী গণিতের সাধারণ যোগ বিয়োগ, গুণ ভাগ এসব এক সাথে থাকলে কোনটার আগে কোনটা করতে হয় সেটা আমরা মোটামুটি সবাই-ই ভালো করে জানি। কিন্তু অনেক সময় গুণ ও ভাগ (অথবা ভাগ ও গুণ) পরপর থাকলে কোনটি আগে করতে হবে সে বিষয়ে দ্বিধায় পড়তে হতে পারে।
M&D = multiplication & division : we perform all the multiplication and division. It is important to note that multiplication does NOT necessarily come before division. A group of multiplication and division operations must be performed from left to right অর্থাৎ বাম থেকে ডানে যেতে যেতে যেটা আগে আসে সেটাই আগে করতে হবে। যেমন, নীচের উদাহরণে ভাগ আগে এসেছে।
[latex](18/3)*5[latex] [latex]6*5=30[latex]
মনে রাখবেন, ভাগ চিহ্নে র ঠিক আগের সংখ্যাটিকে numerator (লব) এবং ঠিক পরের সংখ্যাটিকে denominator (হর) হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। কাজেই, উপরের সংখ্যাটিকে এভাবে লেখা যেতে পারেঃ [latex](18/3)*5[latex].
যদি উপরের গুণের কাজটি আগে করা হতো, তাহলে [latex](18/3)*5[latex] এর চিত্রটা বদলে এরকম হতোঃ [latex]18/15[latex], যা আসলে ভুল উত্তর দিতো।
[latex]99[latex] দিয়ে গুণ, [latex]101[latex] দিয়ে ভাগ ইত্যাদি ধরণের অঙ্ক সহজে করার নিয়মঃ
অনেক ক্ষেত্রেই [latex]99[latex] কে ([latex]100-1[latex]) এভাবে লিখে হিসাব করলে সুবিধা পাওয়া যায়। আবার [latex]101[latex] কে ([latex]100+1[latex]) এভাবে। নীচের উদাহরণটি লক্ষ করুন।
Simplify [latex]7(99)[latex]
= [latex]7(100-1)[latex]
= [latex](7*100)-(7*1)[latex]
= [latex]700-7[latex]
= [latex]693[latex].
কুইজঃ
[latex]99*100[latex] এর মান কত হবে (অতি অল্প সময়ে) বের করুন
হিন্টসঃ [latex](a+b)(a-b)={ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }[latex] সূত্র প্রয়োগ করুন।
Remainders
Remainders (উচ্চারণঃ রিমেইনডার; বহুল প্রচলিত ভুল উচ্চারণ হলো রিমাইনডার) শব্দটির অর্থ ভাগশেষ। The number [latex]17[latex] is not divisible by [latex]5[latex]. When you divide [latex]17[latex] by [latex]5[latex], using long division, you get a remainder: a number left over. [latex]17[latex]. [latex]17[latex] কে [latex]5[latex] দিয়ে ভাগ দেবার ক্ষেত্রে remainder হলো [latex]2[latex].
We can also write that [latex]17[latex] is [latex]2[latex] more than [latex]15[latex], or [latex]2[latex] more than a multiple of [latex]5[latex]. In other words, we can write [latex]17=15+2=3*5+2[latex]. Every number that leaves a remainder of [latex]2[latex] after it is divided by [latex]5[latex] can be written this way: as a multiple of [latex]5[latex], plus [latex]2[latex].
