[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (3) Number Properties বিভাগের অধীনে 〈2〉Factors and multiplies: LCM,GCF চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈3.2.a〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]
〈3.2.a〉লসাগু এবং গসাগু: ইউ টিউব পদ্ধতি
Factors and Multiples
Factors and Multiples are opposite of each other. Factor হলো একটি positive integer যা দিয়ে অন্য কোন integer কে ভাগ করা যায়। [latex]1, 2, 4[latex] and [latex]8[latex] are all the factors (also called divisors) of [latex]8[latex]।
কোন integer এর multiple গঠিত হয় যখন ওই integer টাকে অন্য কোন integer দিয়ে গুণ করা হয়। একটা সংখ্যা নিন [latex]5[latex]; এবার এটাকে [latex]3, 4, 5, 6[latex] etc. দিয়ে গুণ করুন। ফলে যথাক্রমে [latex]15,20,25,30[latex] etc. পাওয়া গেলো। শেষোক্ত সংখ্যাগুলোর প্রত্যেকেই হবে [latex]5[latex] এর multiple। Additionally, negative multiples are possible ([latex]-15,-20,-25,-30[latex]).
Please notice that, zero ([latex]0[latex]) is technically a multiple of every number, because that number times zero (শূন্য সংখ্যাটি কিন্তু একটা integer) equals zero.
দুটি অতি গুরুত্বপূর্ণ কথাঃ
(১) একটি integer নিজেই তার factor আবার নিজেই তার multiple হয়।
(২) এক (১) হলো এমন একটি সংখ্যা যে যে-কোন integer এর factor।
ইউ-টিউব পদ্ধতিতে অল্প সময়ে factor বের করার নিয়ম
কোন ছোট খাট সংখ্যার সবগুলো factor কে দ্রুত বের করার একটা পদ্ধতি আছে, যাকে জিআরই সেন্টারে আমরা “ইউ-টিউব” পদ্ধতি বলি। ভিডিও দেখুন।
প্রথমে উপরের ছবির মতো করে একটি সোজা লাইন টানুন এবং তার উপরের ডান পাশে যে সংখ্যাটির ফ্যাক্টর সমূহ বের করতে চান সেটি লিখুন। উদাহরণে আমরা [latex]72[latex] কে ব্যবহার করেছি, যার factor সমূহ আমরা জানতে চাই। এরপর বাম পাশে লিখুন [latex]1[latex], এবং তার পরে বড় যে সংখ্যা দিয়ে মূল সংখ্যা ([latex]72[latex]) কে ভাগ করা যায় সেটি লিখুন। প্রশ্ন করুন, এবং উত্তর হ্যা হলে সংখ্যাটি লিখে তার ডান পাশে ভাগফল লিখুন। যেমন, “[latex]2[latex] দিয়ে কি [latex]72[latex] কে ভাগ করা যায়?”। উত্তর হলো হ্যা। লিখুন বামে [latex]2[latex], আর [latex]2[latex] বরাবর ডানে [latex]36[latex] (কারণ [latex]2*36=72[latex])। [latex]2[latex] এর পরে বড় সংখ্যা [latex]3[latex], “[latex]3[latex] দিয়ে কি [latex]72[latex] কে ভাগ করা যায়?”। উত্তর হলো হ্যা। লিখুন বামে [latex]3[latex], আর [latex]3[latex] বরাবর ডানে [latex]24[latex] (কারণ [latex]3*24=72[latex])। এরপর “[latex]4[latex] দিয়ে কি [latex]72[latex] কে ভাগ করা যায়?”। উত্তর হলো হ্যা। লিখুন বামে [latex]4[latex], আর [latex]4[latex] বরাবর ডানে [latex]18[latex] (কারণ [latex]4*18=72[latex])। [latex]4[latex] এর বড় সংখ্যা হলো [latex]5[latex]। “[latex]5[latex] দিয়ে কি [latex]72[latex] কে ভাগ করা যায়?”। উত্তর হলো ”না”। কাজেই, আমরা [latex]5[latex] লিখছি না। একই ভাবে লিখলাম [latex]6[latex], কিন্তু লিখতে পারলাম না [latex]7[latex]। এর পর লিখলাম [latex]8[latex]। [latex]8[latex] এর পরে আসে [latex]9[latex], কিন্তু লক্ষ করে দেখুন ডান পাশে ইতোমধ্যে [latex]9[latex] লেখা হয়ে গেছে। কাজেই, আরো বাড়াতে থাকলে একই জিনিসের পুনরাবৃত্তি ঘটবে। এবার ডটেড মোটা দাগের তীর চিহ্ন বরাবর সংখ্যাগুলোকে লিখে ফেলুন। তীর চিহ্নের গতিপথ দেখতে ইংলিশ বর্ণ ইউ এর মতো বলে জিআরই সেন্টারে আমরা এই পদ্ধতির নাম দিয়েছি ইউটিউব পদ্ধতি।
তাহলে, [latex]72[latex] এর factors গুলো কি কি? [latex]1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72[latex]|
ফ্যাক্টরদের সংখ্যা ফিউ (কম) হয়, মাল্টিপলদের সংখ্যা মেনি (অনেক) হয় Fewer Factors, ..More Multiples
উপরের কথাটি বাংলায় লেখার উদ্দেশ্য হলো স্টুডেন্টদের একটি সাধারণ কনফিউশন দূর করা। প্রায়শ:ই স্টুডেন্টরা factors এবং multiples টার্মদুটো উল্টে ফেলেন। যেমন, [latex]4[latex] কি [latex]12[latex] ’র একটি factor নাকি multiple সেটা গড়বড় করে ফেলেন। এ ক্ষেত্রে উপরের কথাটি মনে রাখলে দেখবেন যে আর ভুল হচ্ছে না। যে কোন সংখ্যার ফ্যাক্টর এর সংখ্যা “ফিউ” বা কম এবং মাল্টিপল এর সংখ্যা “মেনি” বা অনেক হয়।
যেমন, [latex]6[latex] এর factor হলো [latex]1,2,3,6[latex]; কিন্তু multiples হলো [latex]6,12,18,24[latex] ইত্যাদি অজস্র সংখ্যা.
Greatest Common Factor and Least Common Multiple
Frequently on various exams you may have to find the Greatest Common Factor (GCF) or Least Common Multiple (LCM) of a set of two or more numbers.
Greatest Common Factor (GCF) বা গসাগু¸: the largest divisor of two or more integers
Least Common Multiple (LCM) বা লসাগু¸: the smallest multiple of two or more integers।
কতগুলো সংখ্যার ল.সা.গু. হলো এমন একটি সংখ্যা, যাকে ওই সংখ্যাগুলোর প্রত্যেকটি দিয়ে ভাগ করা যায়।
A number has many multiples. Let us take three different numbers [latex]3, 4[latex] and [latex]6[latex].
[latex]3[latex] has many multiples like [latex]3, 6, 12, 15[latex]…;
[latex]4[latex] has multiples like [latex]8, 12, 16[latex] …;
[latex]6[latex] has multiples like [latex]6, 12, 600[latex].
But the smallest common multiple of these three numbers is [latex]12[latex]. That is why [latex]12[latex] is the LCM of [latex]3, 4[latex] and [latex]6[latex].
কতগুলো সংখ্যার গ.সা.গু হলো এমন একটি সংখ্যা,যে সংখ্যাটি দিয়ে ওই সংখ্যাগুলোর প্রত্যেকটিকে ভাগ করা যায়।
The GCF of two nonzero integers [latex]a[latex] and [latex]b[latex] is the greatest positive integer that is a divisor of both [latex]a[latex] and [latex]b[latex].
For example, the GCF of [latex]30[latex] and [latex]75[latex] is [latex]15[latex], because [latex]15[latex] is the greatest number that can divide both [latex]30[latex] and [latex]75[latex].
Finding GCF And LCM Using Venn Diagrams
সবার আগে আমাদের সংখ্যাগুলোর Prime factor বের করতে হবে। এর পরে ভেনচিত্রের মতো করে যে Prime factor গুলো উভয় সংখ্যার মধ্যে common আছে তাদের চিহ্নিত করতে হবে।
To find the GCF and LCM of two numbers using a Venn diagram, perform the following steps: [latex]30[latex] [latex]24[latex]
(1) Factor the numbers into primes.
(2) Create a Venn diagram.
(3) Place each common factor, including copies of common factors appearing more than once, into the shared area of the diagram (the shaded region to the right).
(4) Place the remaining (non-common) factors into the non-shared areas.
The Venn diagram above illustrates how to determine the GCF and LCM of [latex]30[latex] and [latex]24[latex]. The GCF is the product of primes in the overlapping region: [latex]2*3=6[latex]. The LCM is the product of ALL primes in the diagram: [latex]5*2*3*2*2=120[latex].
Quiz:
Compute the GCF and LCM of [latex]12[latex] and [latex]40[latex] using the Venn diagram approach.
