[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (4) Decimals, Fraction, Percentage বিভাগের অধীনে 〈2〉Fractions চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈4.2.a〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]

## 〈4.2.a〉ভগ্নাংশ (হর-লব নিয়ম, যোগ, বিয়োগ, গুন ও ভাগ পদ্ধতি)

Decimals are one way of expressing the numbers that fall in between the integers. Another way of expressing these numbers is fractions.

For example, the fraction [latex]9/2[latex] which equals [latex]4.5[latex], falls between the integers [latex]4[latex] and [latex]5[latex].

##### Some important terms

Proper fractions are those that fall between [latex]0[latex] and [latex]1[latex]. In proper fractions, the numerator is always smaller than the denominator. For example:

[latex]\frac { 9 }{ 2 }, \frac { 2 }{ 5 }, \frac { 5 }{ 9 }[latex] etc.

Improper fractions are those that are greater than [latex]1[latex]. In improper fractions, the numerator is greater than the denominator. For example:

[latex]\frac { 9 }{ 2 }, \frac { 19 }{ 6 }, \frac { 5 }{ 3 }[latex] etc.

Mixed number: Improper fractions can be rewritten as mixed numbers. A mixed number is an integer and a proper fraction. For example:

[latex]5/4=1\frac { 1 }{ 4 } , 13/2=6\frac { 1 }{ 2 }, 11/3= 3\frac { 2 }{ 3 }[latex]

Although all the preceding examples use positive fractions, note that fractions and mixed numbers can be negative as well.

##### Numerator (হর) and Denominator (লব) Rules

Certain key rules govern the relationship between the numerator (ভগ্নাংশের উপরের সংখ্যা) and the denominator (ভগ্নাংশের নিচের সংখ্যা) of proper fractions. These rules are important to internalize, but keep in mind that, as written they only apply to positive fractions.

কোন fraction এর numerator যদি স্থির থাকে কিন্তু denominator যদি বৃদ্ধি পায়, তাহলে সংখ্যাটির মান বৃদ্ধি পায়।

[latex]\frac { 1 }{ 4 }<\frac { 2 }{ 4 }<\frac { 3 }{ 4 }<\frac { 4 }{ 4 }<\frac { 5 }{ 4 }[latex]

As the DENOMINATOR goes up, the fraction DECREASES. If you increase the numerator of a fraction, while holding the denominator constant, the fraction decreases in value as it approaches [latex]0[latex].

[latex]\frac { 3 }{ 3 }>\frac { 3 }{ 4 }>\frac { 3 }{ 5 }>\frac { 3 }{ 6 }[latex]….[latex]0[latex]

ভগ্নাংশের উপরে ও নীচে একই সংখ্যা যোগ করলে তার মান কি বাড়ে না কমে? এটা নির্ভর করে ভগ্নাংশের প্রকৃতির উপরে। Proper fraction এর জন্যে এই মান বাড়ে, কিন্তু Improper fraction এর জন্যে এটি কমে।

Please remember that, adding the same number to BOTH the numerator and the denominator brings the fraction CLOSER TO [latex]1[latex], regardless of the fraction’s value.

If the fraction is originally smaller than [latex]1[latex], the fraction increases in value as it approaches [latex]1[latex].

[latex]\frac { 1 }{ 30 } <\frac { 1+1 }{ 30+1 } <\frac { 1+1+1 }{ 30+1+1 } <\frac { 1+1+1+1 }{ 30+1+1+1 } \rightarrow \rightarrow \sim 1[latex]

Conversely, if the fraction is originally larger than 1, the fraction decreases in value as it approaches [latex]1[latex].

[latex]\frac { 3 }{ 2 } >\frac { 4 }{ 3 } >\frac { 1013 }{ 1012 } \rightarrow \rightarrow \sim 1[latex]

কুইজঃ

নীচের তিনটি সংখ্যাকে বড়, মাঝারি ও ছোট এভাবে সাজান। দেওয়া আছে, [latex]p[latex] একটি positive integer এবং [latex]n[latex] negative integer| [latex]\frac { 3415 }{ 8765 }, \frac { 3415+p }{ 8765+p }, \frac { 3415+n }{ 8765+n }[latex]

##### Simplifying Fractions

Simplifying a fraction means dividing both the numerator and the denominator by a common factor. This must be repeated until no common factors remain.
[latex]\frac { 30 }{ 40 }[latex] কে লেখা যায় [latex]\frac { \frac { 30 }{ 10 } }{ \frac { 40 }{ 10 } }[latex] এভাবে অর্থ [latex]3/4[latex]

##### Converting Improper Fractions to Mixed Numbers

To convert an improper fraction into a mixed number, simply divide the numerator by the denominator, stopping when you reach a remainder smaller than the denominator.

In this example we will simplify [latex]9/4[latex]. Since [latex]9/4=2[latex] with a remainder of [latex]1[latex], we can write the improper fraction as the integer 2 with a fractional part of [latex]1[latex] over the original denominator of [latex]4[latex].

Therefore [latex]9/4[latex] is written as [latex]2\frac { 1 }{ 4 }[latex]

বিপরীত ক্রমে mixed number থেকে improper fraction পেতে হলে আমাদের প্রথমে whole number টিকে denominator দিয়ে গুণ করে তার সাথে numerator যোগ করতে হবে। যেমন, উপরের উদাহরণের mixed number কে improper fraction -এ পরিণত করতে হলে ২ এর সাথে ৪ গুণ করে তার সাথে numerator ১ যোগ করতে হবে, ফলে পাওয়া যাবে improper fraction এর নতুন numerator। আর denominator থাকবে আগের ওই ৪-ই।

কুইজঃ

[latex]2\frac { 3 }{ 4 }[latex] সংখ্যাটিকে improper fraction হিসাবে প্রকাশ করুন।

##### The Multiplication Shortcut

To multiply fractions, first multiply the numerators together, then multiply the denominators together, and finally simplify your resulting product by expressing it in lowest terms.

For example:

[latex]\frac { 8 }{ 15 } \times \frac { 35 }{ 72 }=\frac { 8*35 }{ 15*72 }=\frac { 280 }{ 1080 }=\frac { 28 }{ 108 }=\frac { 7 }{ 27 }[latex]

অবশ্য গুণ করার আগে কাটাকাটি করে ফ্র্যাকশনগুলোকে আরেকটু ছোট করে নিলে হিসাব সহজ হয়। এখানে আমরা কাটাকাটি করার কাজটি করেছি গুণের পরে। কাটাকাটি শব্দটি পাটীগণিতীয় জার্গন (jargon) যার অর্থ হলো কমন ফ্যাকটর দিয়ে দুটো সংখ্যাকে ভাগ করে তাদের ভাগফল লেখা।

##### Addition and Subtraction of fractions

While shortcuts are very useful when multiplying fractions, you must be careful NOT to take any shortcuts when adding or subtracting fractions. In order to add or subtract fractions, you must:

(1) find a common denominator
(2) change each fraction so that it is expressed using this common denominator
(3) add up the numerators only

You may need to simplify the result when you are finished; the resulting fraction may not be in reduced form.

For example:

[latex]\frac { 3 }{ 8 }=\frac { 7 }{ 12 }=\frac { (3*3)+(2*7) }{ 24 }=\frac { 23 }{ 24 }[latex]

বইয়ের সাথে ভিডিও টিউটোরিয়ালে এই বিষয়টি আরো ভালো ভাবে বোঝানো হয়েছে।

অ্যালজেব্রার অজানা রাশির সাহায্যে দুইটি ফ্র্যাকশনের যোগ দেখা যাকঃ

[latex]\frac { a }{ b }+\frac { x }{ y }=\frac { ay+bx }{ by }[latex]

তিনটি ফ্র্যাকশন যদি যোগ করতে হয়, তাহলে বিষয়টি কেমন হবে দেখা যাক:

[latex]\frac { a }{ b }+\frac { x }{ y }+\frac { p }{ q }[latex]
=[latex]\frac { (a*yq)+(x*bq)+(p*by) }{ bqy }[latex]

##### Dividing Fractions: Use the Reciprocal

একটি ফ্র্যাকশনকে আরেকটি ফ্র্যাকশন দিয়ে ভাগ করতে হলে সবার আগে আমাদের ফ্র্যাকশনের রেসিপ্রোকাল (Reciprocal) বা বিপরীত ফ্র্যকশন সম্পর্কে ধারণা থাকতে হবে। [latex]a/b[latex] ফ্র্যাকশনের reciprocal fraction হচ্ছে [latex]b/a[latex], Which means, the positions of the numerator and denominator are switched. Proper fraction এর  reciprocal সবসময় একটি improper fraction. অন্য কথায় you can think of the reciprocal as the fraction flipped upside down.

একটি ফ্র্যাকশনকে দ্বিতীয় আরেকটি ফ্র্যাকশন দিয়ে ভাগ করতে হলে আগে দ্বিতীয় ফ্র্যাকশনের reciprocal বের করুন এবং তারপর সেটি দিয়ে প্রথম ফ্র্র্যাকশনকে গুণ করুন।

Divide [latex]4/7[latex] with [latex]16/21[latex]
=[latex]\frac { 4 }{ 7 } \div \frac { 16 }{ 21 }=\frac { 4 }{ 7 } * \frac { 21 }{ 16 }=\frac { 3 }{ 4 }[latex]

একটি integer এর reciprocal কী হবে? যে কোন integer কে একটি fraction হিসাবে প্রকাশ করা যায় যেখানে numerator হলো ওই integer টি নিজে, এবং denominator হলো ১.

So, the reciprocal of [latex]7[latex] will be [latex]1/7[latex]

##### Division কে অনেক সময় fraction হিসাবে দেখানো হয়ঃ

অনেক সময় ভাগ চিহ্ন ব্যবহার করার পরিবর্তে একটি ফ্র্যাকশনের নীচে একটু বেশি লম্বা একটি দাগ টেনে তার নীচে আরেকটি ফ্র্যাকশন লেখা হয়। এসব  ক্ষেত্রেও দ্বিতীয় (নীচের) ফ্র্যাকশনটি দিয়ে উপরের ফ্র্যাকশনকে ভাগ করতে হবে প্রকাশ পায়।

Here’s an example: [latex]\frac { \frac { 2 }{ 3 } }{ \frac { 4 }{ 9 } }[latex]
which actually means [latex]\frac { 2 }{ 3 } \div \frac { 4 }{ 9 }[latex]
which equals, [latex]\frac { 3 }{ 2 }[latex]
##### দুই তা তিনটি (বা তার বেশি) Fractions এর তুলনাঃ

নীচের ছবিটি দেখুন। তীর চিহ্নের direction অনুসারে গুণ দিন, এবং গুণফল ওই fraction এর নীচে লিখুন। যে fraction এর নীচে লেখা সংখ্যাটি ছোট, সেই fraction টি ছোট হবে। বিশেষ সতর্কতাঃ [latex]a[latex] & [latex]n[latex] ও [latex]n[latex] & [latex]a[latex] এর গুণফল কিন্তু একই সংখ্যা হয়। কিন্তু যার numerator নেওয়া হচ্ছে, গুণফলটি তার নীচেই লিখতে হবে।

একই ভাবে তিনটি ফ্র্যাকশনের মধ্যে তুলনা করবেন কিভাবে, সেটা নীচের ছবিতে দেখানো হলো। একই ভাবে, তিনের বেশি সংখ্যক ফ্র্যাকশনের মধ্যে তুলনা করতেও এই নিয়মটি অনুসরণ করুন। বিবেচ্য ফ্র্যাকশনের #নিউমেরটর আর বাকী সবগুলোর #ডিনোমিনেটর গুণ করে উক্ত ফ্র্যাকশনের নীচে লিখুন। এভাবে প্রাপ্ত সংখ্যাগুলোকে তুলনা করে বের করুন কোন #ফ্র্যাকশনটি কার চেয়ে বড়।

##### Never Split the Denominator

One final rule, perhaps the most important one, is one that you must always remember when working with complex fractions. A complex fraction is a fraction in which there is a sum or a difference in the numerator or the denominator. Three examples of complex fractions are:

a. [latex]\frac { 10 }{ 5 }+15[latex]
b. [latex]\frac { 5 }{ 5+10 }[latex]
c. [latex]\frac { 15+10 }{ 5+2 }[latex]

In example (a), the numerator is expressed as a sum.
In example (b), the denominator is expressed as a sum.
In example (c), both the numerator and the denominator are expressed as sums.
When simplifying fractions that incorporate sums or differences, remember this rule: You may split up the terms of the numerator, but you may NEVER split the terms of the DENOMINATOR.

অর্থাৎ, (a) কে লেখা যেতে পারে:

[latex]\frac { 15+10 }{ 5 }=\frac { 15 }{ 5 }+\frac { 10 }{ 5 }[latex]

কিন্তু (b) কে আমরা এভাবে লিখতে পারবো না:

[latex]\frac { 5 }{ 15+10 }=\frac { 5 }{ 15 }+\frac { 5 }{ 10 }[latex]… wrong

এবং (c) কে আমরা এভাবে লিখতে পারবো:

[latex]\frac { 15+10 }{ 5+2 }=\frac { 15 }{ 5+2 }+\frac { 10 }{ 5+2 }[latex].