[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (1) Geometry বিভাগের অধীনে (1) Lines and Angels চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈1.1.b〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]
〈1.1〉(b) বিভিন্ন ধরণের রেখা, দূরত্ব এবং তাদের অব্যন্তরীণ কোণ সমূহ
Lines and distance
Lets discuss some interesting facts about Lines
Perpendicular distance
The word ‘distance’ always means ‘perpendicular distance’.
দুইটি সরলরেখার মধ্যে অসংখ্য সংযোজক রেখা টানা যায়। এদের মধ্যে সবচেয়ে ছোট হলো লম্ব। এ কারণে distance বা দূরত্ব যখন বলা হয়, তখন সব সময় লম্ব দূরত্ব বোঝানো হয়।
যদি [latex]PQ[latex] ও [latex]RS[latex] রেখাদ্বয় পরষ্পর সমান্তরাল হয় তাহলে তাদের এভাবে প্রকাশ করা হয় [latex]PQ[latex]।।[latex] RS[latex]
Perpendicular lines বা পরষ্পর লম্ব রেখা
These are lines that intersect at a [latex]90[latex]° angle. Two perpendicular lines are shown below:
পরষ্পর লম্ব রেখারা [latex]90[latex]° কোণ উৎপন্ন করে। ছবির ক্ষেত্রে [latex]90[latex]° কোণ বোঝানোর জন্যে উপরে ডান পাশের ছবিটির মতো চিহ্ন ব্যবহৃত হয়। যদি [latex]AB[latex] ও [latex]CD[latex] রেখাদ্বয় পরষ্পর লম্ব হয় তাহলে লেখার [latex]AB[latex] [latex]\bot[latex] [latex]CD[latex] তাদেও চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়।
দুইটি বিশেষ ধরণের কোণ সম্পর্কে আমাদের ধারণা থাকতে হবেঃ
(1) The angles formed by any intersecting lines.
(2) The angles formed by parallel lines cut by a transversal.
Intersecting Lines
Intersecting lines have three important properties.
(1) দুইটি রেখা পরষ্পরকে ছেদ করলে যে চারটি কোণ উৎপন্ন হয় তাদের যোগফল [latex]360[latex]° হয় । The interior angles formed by intersecting lines form a circle so the sum of these angles is [latex]360[latex]° In the diagram shown, [latex]a + b + c + d = 360[latex]°.
(2) দুইটি কোণের যোগফল একটি সরলকোণ বা [latex]180[latex]° উৎপন্ন করলে তাদের supplementary angles বলে। The interior angles that combine to form a line sum to [latex]180[latex]°. These are termed supplementary angles.
কাজেই নিচের ছবিতে [latex]a+b=180[latex]°; আবার [latex]c+d=180[latex]°। [latex]a[latex] and [latex]b[latex] হল supplementary angles. একই ভাবে [latex]c[latex] and [latex]d[latex] is also supplementary angles.
(3) পরষ্পর বিপরীত দিকে অবস্থিত কোণ-জোড় কে বলে vertical angles বা বিপ্রতীপ কোণ। Vertical angles পরস্পর সমান হয়।
Thus, in the diagram above, [latex]a=c[latex], because both of these angles are opposite each other, and are formed from the same two lines. Additionally, [latex]b=d[latex] are also vertical angles for the same reason.
Vertical angles শুধুমাত্র পরষ্পরছেদী দুইটি রেখার ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য নয়, বরং যে কোন সংখ্যক পরষ্পরছেদী রেখার ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য। নীচের ছবিতে তিনটি রেখা পরষ্পরকে এক বিন্দুতে ছেদ করে মোট তিন জোড়া কোণ তৈরী করেছে। এদের প্রতিটি জোড়ই vertical angles. Therefore, [latex]a = b[latex]; [latex]x = y[latex]; [latex]s = t[latex].
Exterior Angles of a triangle (ত্রিভুজের ক্ষেত্রে বহিঃস্থ কোণ)
ত্রিভুজের যে কোন এক বাহুকে বাড়িয়ে দিলে তা বাইরের দিকে যে কোণটি উৎপন্ন করে তাকে বহিঃস্থ কোণ (exterior angle) বলে। বহিঃস্থ কোণটি অন্তঃস্থ বিপরীত অন্য দুইটি কোণের সমষ্টির সমান| An exterior angle of a triangle is equal in measure to the sum of the two non-adjacent (opposite) interior angles of the triangle.
নিচের ছবিটা দেখুনঃ
কিভাবে [latex]s = a + b[latex] সম্পর্কটি কিভাবে পাওয়া গেল?
We know, [latex]a + b + c = 180[latex]° (sum of angles in a triangle).
Then, [latex]c + s = 180[latex]° (supplementary angles).
Therefore, [latex]s = a + b[latex].
আইবিএ তে উপরের সম্পর্ক ব্যবহার করে বিভিন্ন অঙ্ক বানিয়ে দেওয়া হয়। প্রতিক্ষেত্রে আমাদের নির্দিষ্ট করে আলাদা করে বের করতে হবে কোনটি exterior আর কোণ দুইটি interior opposite কোণ।
Parallel Lines Cut By a Transversal
দুই বা তার বেশি সংখ্যক পরষ্পর সমান্তরাল রেখাকে অন্য একটি রেখা যদি ছিন্ন করে বেশ কয়েকটি কোণ পাওয়া যায়, যাদের মধ্যকার সম্পর্ক থেকে অনেক অঙ্ক বানানো হয়। যদি দুইটি রেখা পরষ্পর parallel বা সমান্তরাল থাকে, তাহলে তাদেরকে তৃতীয় আরেকটি রেখা ছিন্ন করলে মোট চার জোড়া বা আটটি কোণ উৎপন্ন হয়। যদি তৃতীয় রেখাটি বাকী দুইটির উপরে লম্ব হয়, তাহলে আটটি কোণই [latex]90[latex]° বা সমকোণ হয়। অন্যথায় তাদের মধ্যে অর্ধেক হয় actuate angle আর বাকী অর্ধেক হয় obtuse angle (স্থূল কোণ)। সবগুলো সূক্ষ্মকোণ সমান; আবার সবগুলো স্থূল কোনই সমান। নীচের ছবিটি দেখুন।
Any acute angle is supplementary to any obtuse angle. Thus, [latex]a + b = 180[latex]°
এখন দ্রুত করতে হবেঃ When you see a transversal cutting two lines that you know to be parallel, fill in all the [latex]a[latex] (acute) and [latex]b[latex] (obtuse) angles, just as in the diagram above .
কুইজঃ
If [latex]AB || CD[latex], what is the degree measure of the angle [latex]x[latex]?
Polygons and Interior Angles (অন্তঃস্থ কোণ)
polygon এর কতটি বাহু আছে তার সাথে উক্ত polygon এর অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ সম্পর্কযুক্ত। এ ক্ষেত্রে ব্যবহৃত সূত্র হলোঃ
Sum of interior angles of a polygon = [latex](n[latex] – [latex]2) 180[latex]°
এখানে [latex]n[latex] হচ্ছে বাহুর সংখ্যা।
নীচের টেবিল থেকে বিষয়টা আরো পরিষ্কার হবেঃ
| Polygon | # of sides | Sum of Interior Angles |
|---|---|---|
| Triangle | 3 | 180° |
| Quadrilateral | 4 | 360° |
| Pentagon | 5 | 540° |
| Hexagon | 6 | 720° |
নীচের ছবিতে চতুর্ভুজের চারটি কোণ আছে। এদের নিজ নিজ মান যাই হোক না কেন, সম্মিলিত অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে [latex](n[latex] – [latex]2) 180[latex]° বা [latex]360[latex]°
বিষয়টাকে ঘুরিয়ে অন্য ভাবেও চিন্তা করা যায়, ধরুন আমরা একটি চতুর্ভুজকে তার যে কোন diagonal বা কর্ণ বরাবর কেটে ফেললাম। তাহলে দুইটি ত্রিভুজ পাওয়া গেল। দুইটি ত্রিভুজের কোণের সমষ্টিই হবে (অর্থাৎ [latex]2*180[latex]) চতুর্ভুজটির মোট কোণের পরিমাণ।
নীচের polygon টি ছয় বাহু বিশিষ্ট; কাজেই এর মোট অন্তঃস্থ: কোণের পরিমাণ হবে [latex](6-2)180 = 4*180 = 720[latex]°
একইভাবে উপরের ষড়ভুজটিকে (hexagon) আমরা কেটে চারটি ত্রিভুজে পরিণত করতে পারি। এই হিসাবে চারটি ত্রিভুজের মোট অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ হবে ষড়ভুজটির মোট অন্তঃস্থ কোণের পরিমাণ।
Perimeter বা পরিসীমা
পরিসীমা হলো polygon এর সবগুলো বাহুর দৈর্ঘ্যরে যোগফল। The perimeter refers to the distance around a polygon; or the sum of the lengths of all the sides. একটি বাগানের চারপাশ দিয়ে বেড়া দিলে ওই বেড়ার দৈর্ঘ্যই হবে বাগানটির পরিসীমা।
উপরের polygon টির পরিসীমা হবে [latex]9 + 7 + 4 + 6 + 5 = 31[latex]
Perimeters of some polygons
ত্রিভুজের তিন বাহুর যোগফলই তার perimeter.
Perimeter = [latex]a + b + c[latex]
অনিয়মিত চতুর্ভুজের ক্ষেত্রে আলাদাভাবে চারটি বাহু যোগ করে নিতে হয়।
parallelogram বা সামান্তরিক এবং rectangle বা আয়তক্ষেত্রে বিপরীত বাহু দ্বয় পরষ্পর সমান। যদি বাহুদ্বয় [latex]a[latex] and [latex]b[latex] হয়, সেক্ষেত্রে পরিসীমা হবে [latex]2(a+b)[latex]
রম্বস (rhombus) ও বর্গক্ষেত্রের চারটি বাহুই সমান। বাহুর দৈর্ঘ্য [latex]a[latex] হলে এদের পরিসীমা হবে [latex]4a[latex].
নির্দিষ্ট সময়ে ঘড়ির কাঁটার কৌণিক মানঃ
IBA তে এ ধরণের প্রশ্ন আসতে দেখা যায়। বৃত্তের কেন্দ্রে যেহেতু [latex]360[latex]° কোণ উৎপন্ন হয়, বৃত্তাকার ডায়াল ঘড়ির ঘণ্টা, মিনিট ও সেকেন্ডের কাঁটাও সেরকম একবার পূর্ণ আবর্তনে [latex]360[latex]° কোণ ঘুরে আসে। কোন একটি নির্দিষ্ট সময়ে ঘণ্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটা কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে এই বিষয়ে অঙ্ক আসতে দেখা যায়। এক্ষেত্রে অঙ্কগুলো দুই পদ্ধতিতে করা হয়ঃ সনাতন ও জিআরই সেন্টারের নিজস্ব সূত্র দিয়ে।
প্রথমে, সনাতন পদ্ধতিঃ
কাঁটাওয়ালা ঘড়িতে [latex]12[latex] টি ঘর আছে, যা দিয়ে [latex]360[latex]° কোণ তৈরী হয়েছে। প্রতি দুইটি ঘরের মধ্যে কৌণিক দূরত্ব সে কারণে [latex]360/12[latex]° বা [latex]30[latex]°। অর্থাৎ, উদাহরণ স্বরূপ, ঘণ্টার কাঁটা দুপুর [latex]12[latex] টা থেকে [latex]1[latex] টা বাজলে মোট [latex]30[latex]° কৌণিক দূরত্ব পার হয়। কাজেই, ঘণ্টার কাঁটা [latex]60[latex] মিনিটে অতিক্রম করে [latex]30[latex]° কোণ। বা, [latex]1[latex] মিনিটে অতিক্রম করে [latex]1/2[latex]° কোণ
বা, [latex]x[latex] মিনিটে অতিক্রম করে [latex]x/2[latex]° কোণ।
মিনিটের কাঁটা [latex]60[latex] মিনিটে পূর্ণ বৃত্ত বা [latex]360[latex]° কোণ অতিক্রম করে। অর্থাৎ, এটি [latex]1[latex] মিনিটে [latex]360/60[latex]° কোণ বা [latex]60[latex]° অতিক্রম করে। কাজেই, [latex]x[latex] মিনিটে অতিক্রম করে [latex]6x[latex]° কোণ।
মিনিটের কাঁটা নির্দিষ্ট সময়ে ঘণ্টার কাঁটার চেয়ে বেশি এগিয়ে যায়। কাজেই, মিনিটের কাঁটা কর্তৃক অতিক্রান্ত কৌাণিক দূরত্ব থেকে ঘণ্টার কাঁটা কর্তৃক অতিক্রান্ত কৌণিক দূরত্বকে বাদ দিলে পাওয়া যাবে কোন নির্দিষ্ট ঘণ্টা ও মিনিটে দুইটি কাঁটার মধ্যে কৌণিক দূরত্ব কত, তা।
এক্ষেত্রে সুবিধার জন্যে আমরা নির্দিষ্ট ঘণ্টার শূন্য মিনিট থেকে শুরু করি।
উদাহরণ হিসাবে, [latex]12[latex] টা বেজে [latex]15[latex] মিনিটে দুইটি কাঁটার মধ্যে কৌণিক দূরত্ব কত বের করা যাক। এখানে [latex]15[latex] মিনিটের জন্যে মিনিটের কাঁটা সরেছে [latex]6*15 = 90[latex]° ডিগ্রি।
এই [latex]15[latex] মিনিটের জন্যে ঘণ্টার কাঁটাও সরেছে কিছুটা, যার পরিমাণ হলোঃ [latex]15/2[latex]° ডিগ্রি বা [latex]7.5[latex]° ডিগ্রি।
তাহলে, [latex]12[latex] টা [latex]15[latex] মিনিটে দুই কাঁটার মাঝের দূরত্ব হবে [latex]90[latex]–[latex]7.5 = 82.5[latex]° ডিগ্রি।
দ্বিতীয় পদ্ধতিঃ জিআরই সেন্টারের নিজস্ব সূত্রঃ
If the value of hour is [latex]h[latex], value of minute is [latex]m[latex] and the angle formed by two hands is then,
Angle = |[latex]30h[latex]| – [latex]5.5m[latex]
উপরের সূত্রে যদি মান [latex]180[latex]° ’র বেশি আসে, তাহলে আমরা সেটিকে [latex]360[latex]° থেকে বিয়োগ করবো।
কুইজঃ
[latex]12.15[latex] মিনিটে ঘণ্টা ও মিনিটের কাঁটা দুইটির মধ্যে কৌণিক ব্যবধান কত?
সূত্রে [latex]h = 12[latex] এবং [latex]m = 15[latex] বসিয়ে পাই,
Angle = |[latex]30h[latex]| – [latex]5.5m[latex]
= |[latex]360[latex] – [latex]82.5[latex]|
= |[latex]277.5[latex]|
Now subtract this from [latex]360[latex] (since it is greater than 180).
= [latex]360[latex] – [latex]277.5[latex]
= [latex]82.5[latex] (Ans.)
