[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (1) Geometry বিভাগের অধীনে 〈4〉 Polygons চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈1.4.a〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]
〈1.4.a〉 বিভিন্ন ধরণের বহুভুজ এবং তাদের ক্ষেত্রফলের বিশদ আলোচনা
Introduction
Polygons বা বহুভুজ
A polygon is defined as a closed shape formed by line segments.
- Three-sided shapes (Triangles)
- Four-sided shapes (Quadrilaterals)
- Other polygons with [latex]n[latex] sides (where [latex]n[latex] is five or more)
Polygons are two – dimensional shapes, অর্থাৎ, এরা কোন তলের উপরে থাকে। polygon সংক্রান্ত— যে সব ধারণার পরীক্ষা নেওয়া হবে তার মধ্যে প্রধান হলোঃ
(1) interior angles,
(2) perimeter and
(3) area.
এছাড়া three dimension এর উপরে polygon দ্বারা গঠিত solid এর ক্ষেত্রে এগুলো জানা থাকতে হবে
(4) surface area and
(5) volume
Quadrilaterals বা চতুর্ভুজ
“Quadri” শব্দের অর্থ চার (যেমন, quadruped অর্থ চতুষ্পদ) এবং “lateral” অর্থ পার্শ্ব। চারটি বাহু বিশিষ্ট polygon-ই quadrilateral।
নীচের ছবিটি লক্ষ্য করুন। এখানে প্রধান চতুর্ভুজগুলো দেখানো হয়েছে।
Polygons and their Area বা ক্ষেত্রফলঃ
The area of a polygon refers to the space inside the polygon. Area is measured in square units, such as cm2 (উচ্চারণ: সেন্টিমিটার স্কয়্যার বা স্কয়্যার সেন্টিমিটার), m2 (square meters), or ft2 (square feet). বিভিন্ন polygon-এর ক্ষেত্রফল কিভাবে হিসাব করতে হয় তা এখানে আলোচনা করা হলো।
1) Area of a TRIANGLE = [latex]\frac { Base \times Height }{ 2 }[latex]
base হলো ত্রিভুজের নীচের দিকের বাহুটি। তবে ত্রিভুজ আঁকার ধরণ অনুসারে ভূমিটি সব সময় নীচের দিকে নাও থাকতে পারে। height বা উচ্চতা বলতে বোঝায় ভূমির বিপরীত শীর্ষ থেকে অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য।
যেমন, নীচের ত্রিভূজের ভূমি [latex]6[latex] এবং উচ্চতা [latex]8[latex] বলে তার ক্ষেত্রফল হবেঃ [latex]\frac { 6 \times 8 }{ 2 }[latex]
ত্রিভুজের উচ্চতা দেওয়া না থাকলে এই সূত্র প্রয়োগ করা যাবে না। যেমন, নীচের চিত্রে আমাদের আগে উচ্চতা (ডটযুক্ত রেখা) নির্ণয় করতে হবে, তারপর আমরা ক্ষেত্রফল বের করতে পারবো। (মন্তব্য তবে তিন বাহু যেহেতু দেওয়া আছে, আমরা অন্য সূত্র প্রয়োগ করেও ক্ষেত্রফল বের করতে পারি, তবে সেক্ষেত্রে সময় অনেক বেশি লাগবে)
2) Area of a RECTANGLE = [latex]Length \times Width[latex]
The length of this rectangle is [latex]13[latex], and the width is [latex]4[latex].
Therefore, the area = [latex]13 \times 4[latex] = [latex]52[latex]
3) Area of a SQUARE = [latex]a\times a[latex], or [latex]a[latex]2
where [latex]a[latex] is the side of the square.
The area of the above square will be [latex]a[latex]2.
Square এর ক্ষেত্রফল বের করার বিশেষ সূত্র
যদি আমাদের কোন বর্গের diagonal বা কর্ণের দৈর্ঘ্য ([latex]d[latex]) জানা থাকে তাহলে এই সূত্র অনুযায়ী উক্ত বর্গের ক্ষেত্রফল বের করা যায়।
”বর্গের ক্ষেত্রফল তার কর্ণের বর্গের অর্ধেক”।
অর্থাৎ, ক্ষেত্রফল [latex]A = \frac { { d }^{ 2 } }{ 2 }[latex]
উপরের সূত্রটি বিশেষতঃ কাজে লাগে যখন কোন বর্গকে কোন বৃত্তের মধ্যে inscribed (অর্থাৎ অন্তঃস্থ) করা হয়। সেক্ষেত্রে বৃত্তের ব্যাস ই উক্ত বর্গের কর্ণে পরিণত হয়। নীচের ছবিটি দেখুন।
The square is inscribed in the circle with center [latex]O[latex]. If the radius of the circle is 5, then what will be the area of the shaded region?
এখানে আলাদাভাবে বৃত্তের ক্ষেত্রফল বের করতে হবে এবং বর্গের ক্ষেত্রফল বের করতে হবে। তারপর প্রথমটা থেকে পরেরটা বিয়োগ দিতে হবে। [latex]5[latex] ব্যাসার্ধের বৃত্তের ক্ষেত্রফল হবে π[latex]{ 5 }^{ 2 }[latex] আর [latex]5[latex] এর দ্বিগুণ [latex]10[latex] দৈর্ঘ্যরে কর্ণ বিশিষ্ট বর্গের ক্ষেত্রফল হবে উপরে দেখানো সূত্র মোতাবেক [latex]\frac { { 2\times 5 }^{ 2 } }{ 2 }[latex] । এবার সহজেই বিয়োগ করে উত্তর বের করে নিন।
3) Area of a TRAPEZOID = [latex]\frac { Base1+Base2 }{ 2 } \times Height[latex]
অর্থাৎ, এক্ষেত্রে ক্ষেত্রফল হলো, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের যোগফলের অর্ধেক ও তার উচ্চতার গুণফল।
In the trapezoid shown, base1 = [latex]18[latex], base2, = [latex]6[latex], and the height = [latex]8[latex].
The area = [latex]\frac { 18+6 }{ 2 } \times 8[latex] = [latex]96[latex]
অন্যভাবে চিন্তা করলে আমরা বলতে পারি, সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের গড়কে তাদের মধ্যকার দূরত্ব দিয়ে গুণ করে ক্ষেত্রফল বের করা হয়।
4) Area of any PARALLELOGRAM = [latex]Base \times Height[latex]
Note: এখানে উচ্চতা বলতে সমান্তরাল যে বাহু দুটির একটিকে ভূমি ধরা হয়েছে তাদের মধ্যকার দূরত্ব নির্দেশ করা হয়েছে।
In the parallelogram shown, the base = [latex]5[latex] and the height = [latex]9[latex].
Therefore, the area is [latex]5 \times 9[latex] = [latex]45[latex].
5) Area of a RHOMBUS = [latex]Area=\cfrac { { Diagonal }_{ 1 }\quad \times \quad { Diagonal }_{ 2 } }{ 2}[latex]
মনে রাখবেন, রম্বসের diagonal বা কর্ণ দুইটি পরষ্পরের উপরে লম্ব হয় এবং পরষ্পর কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।
The area of this rhombus is [latex]\frac {6\times8}{ 2 }[latex] = [latex]\frac {48}{ 2 }[latex] = [latex]24[latex]
লক্ষণীয় বিষয় হলো, এধরণের চতুর্ভুজের প্রত্যেকটিকেই কতগুলো সুবিধাজনক আকারে খণ্ডিত করা যেতে পারে। যেমন, একটি ট্রাপিজিয়ামকে দুইটি ত্রিভুজ এবং একটি আয়তক্ষেত্র এভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে।
Diagonals of Other Polygons(অন্যান্য বহুভুজের কর্ণ)
Right triangles are useful for more than just triangle problems. They are also helpful for finding the diagonals of other polygons, specifically squares, cubes, rectangles, and rectangular solids.
The diagonal of a square can be found using this formula:
[latex]d[latex] = [latex]s[latex]√[latex]2[latex] where [latex]s[latex] is a side of the square.
মন্তব্যঃ বর্গের বাহুকে √[latex]2[latex] দিয়ে গুণ করলে তার কর্ণ পাওয়া যায়। কিউব বা ঘনকের ক্ষেত্রে এটি উক্ত ঘনকের face diagonal বা পার্শ্বীয় কর্ণ নির্দেশ করে। একই সূত্র প্রয়োগ করে কিউবের প্রধান কর্ণও বের করা হয়। Face diagonal ও Main diagonal বলতে আসলে কি বোঝায় তার জন্যে ছবিটি দেখুনঃ
About formation of main diagonal of a rectangular solid
Step 1:
যদি আমরা কোন plane এর দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য জানি, তাহলে তাদের দ্বারা গঠিত plane এর কর্ণও বের করতে পারবো। যেমন, [latex]a[latex] এবং [latex]b[latex] বাহুর দ্বারা গঠিত plane এর কর্ণের ([latex]p[latex]) দৈর্ঘ্য হবে এরকম:
[latex]p[latex]2 = [latex]a[latex]2 + [latex]b[latex]2 … … (1)
আবার, প্রধান কর্ণ [latex]d[latex] এর মান বের করতে [latex]d, p[latex] ও [latex]c[latex] বাহু দ্বারা গঠিত সমকোণী ত্রিভুজ থেকে আমরা পাইঃ
[latex]d[latex]2 = [latex]p[latex]2 + [latex]c[latex]2
Or, [latex]d[latex]2 = [latex]a[latex]2 + [latex]b[latex]2 + [latex]c[latex]2 [উপরের (১) সমীকরণ হতে]
Or, [latex]d[latex] = [latex]\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 } }[latex]
