[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (4) Decimals, Fraction, Percentage বিভাগের অধীনে 〈4〉Profit loss চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈4.4.a〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]
〈4.4.a〉লাভ ও ক্ষতি সম্পর্কিত আলোচনা
Selling price with profit included:
If buying price is [latex]B[latex] and you want to make [latex]P[latex]% profit, then selling price [latex]S[latex] would be:
[latex]S=B+(P[latex]% of [latex]B)=B+BP/100=B(100+P/100)[latex]
For loss, the “plus sign” will be replaced with “minus sign”.
নির্দিষ্ট পরিমাণ % বৃদ্ধি করার পরে আদি অবস্থায় ফিরে আসার জন্যে কত % কমাতে হবে তার হিসাব: Please note: If you increase a value by [latex]x[latex]%, then if you decrease it by [latex]x[latex]%, then you will NOT get the original value. কোন কিছুর দাম [latex]x[latex]% বাড়ানোর পরে তা আগের অবস্থায় ফিরে আসার জন্যে অবশ্যই [latex]x[latex] এর চেয়ে কিছু কম পরিমাণ % কমাতে হবে। আবার কোন কিছুর দাম [latex]x[latex]% কমানোর পরে তা আগের অবস্থায় ফিরে আসার জন্যে অবশ্যই [latex]x[latex] এর চেয়ে কিছু পরিমাণ বেশি % বাড়াতে হবে।
এ জন্যে নীচের সূত্র দুটি মনে রাখা জরুরী।
কাজেই, কোন কিছুর দাম বাড়িয়ে তা যখন “কমানো”র দরকার হবে, তখন “কম” পরিমাণ কমাতে হবে। এবং, কোন কিছুর দাম কমিয়ে তা যখন “বাড়ানো”র দরকার হবে, তখন “বেশি” পরিমাণ বাড়াতে হবে। আমাদের উদ্দেশ্য হলো প্রাথমিক দামে ফিরে আসা।
Here is a real-life example (২০ বনাম ২৫ সংখ্যা দুটি মনে রাখবেন):
=> After increasing by [latex]25[latex]%, you need to decrease it by [latex]20[latex]%, to return to original value.
=> After decreasing by [latex]20[latex]%, you need to increase it by [latex]25[latex]%, to return to original value.
Successive Percents
One of the tricks involves successive percents.
If a ticket increased in price by [latex]20[latex]%, and then increased again by [latex]5[latex]%, by what percent did the ticket price increase in total?
আপনি হয়ত উপরের প্রশ্নটির উত্তর ভাবছেন ২০% + ৫% = ২৫%। কিন্তু এটি ভুল!
ধরা যাক প্রাথমিক দাম ছিল ১০০ টাকা। ২০% বাড়ানোর পরে এটি হলো ১২০ টাকা। পরে যে আরো ৫% বাড়ানো হলো, সেটা কিন্তু ১০০ টাকার উপরে হয়নি, সেটা হয়েছে ১২০ টাকার উপরে, যার বৃদ্ধিপ্রাপ্ত দাম হলো [latex]120*(100/100)=126[latex] টাকা। সুতরাং, প্রাথমিক ১০০ টাকার উপরে কত % দাম বেড়েছে জানতে চাইলে উত্তর হবে ২৬% (উত্তর)।
এ ধরণের অঙ্ক সহজে করার একটি সূত্র আছে।
দুই ধাপে দাম পরিবর্তন করা হলে আদি দামের কত পার্সেন্ট পরিবর্তন হয় তা বের করার সূত্রঃ
যদি কোন কিছুর দাম প্রথমে [latex]x[latex]% বাড়ানো হয়, এবং তার পরে [latex]y[latex]% বাড়ানো হয়, তাহলে উক্ত পণ্যের দাম মোটের উপরে [latex]100(x+y)+\frac { xy }{ 100 }[latex]% বাড়ানো হয়। এখানে কোন ক্ষেত্রে কমানো হলে শুধু নেগেটিভ সাইন ব্যবহার করলেই হবে। উত্তর নেগেটিভ আসলে বোঝা যাবে মোটের উপরে দাম কমেছে।
কুইজঃ
কোন কিছুর দাম নির্দিষ্ট পরিমাণ পার্সেন্টেজ বাড়ানোর পরে আবার ওই একই পরিমাণ পার্সেন্ট কমানো হলো। মোটের উপরে কি পরিবর্তন হলো?
হিন্টসঃ উপরের সূত্রে [latex]y[latex] এর স্থলে নেগেটিভ চিহ্নযুক্ত [latex]x[latex] বসান।
The overall change will be
[latex]\frac { 100\{ x+(-x)\} +(-x) }{ 100 }[latex] %
=[latex]\frac { 100\{ x-x)\} +x(-x) }{ 100 }[latex] %
=[latex]\frac { { x }^{ 2 } }{ 100 }[latex] %
শুরুতে নেগেটিভ চিহ্ন থেকে বোঝা যাচ্ছে যে, নতুন দাম প্রাথমিক দামেরও নীচে নেমে গেছে। এ কারণেই উপরে বলা হয়েছে “প্রাথমিক দামে ফিরে আসার জন্যে কমানোর সময় কম পার্সেন্ট কমাতে হয়”।
বহুধাপী পার্সেন্ট পরিবর্তন
কুইজঃ
একটি শেয়ারের মূল্য প্রতি সপ্তাহে ২% করে বৃদ্ধি পায়। ৫২ সপ্তাহ শেষে তার দাম প্রাথমিক দামের কত % বৃদ্ধি পাবে?
এসব ক্ষেত্রে যে সূত্র ব্যবহার করতে হবে তা হলোঃ
Percent change after [latex]n[latex] cycles of raise of [latex]x[latex]% =[latex]\frac { ({ 100+x })^{ n }-{ 100 }^{ n } }{ { 100 }^{ n-1 } }[latex] %
ধরা যাক, কোন কিছুর দাম ১০% বাড়ানোর পরে আবার ১০% বাড়ানো হলো। তাহলে তার দাম প্রাথমিক দামের কত পার্সেন্ট বৃদ্ধি পেলো?
এই মাত্র আলোচিত সূত্র অনুযায়ী চলুন মানগুলো ([latex]x=10,n=2[latex]) বসাই
=[latex]\frac { ({ 100+10 })^{ 2 }-{ 100 }^{ 2 } }{ { 100 }^{ 2-1 } }[latex] %
=[latex]\frac { { 100 }^{ 2 }+2*100*10+{ 10 }^{ 2 }-{ 100 }^{ 2 } }{ 100 }[latex] %
=[latex]\frac { 2*100*10*100 }{ { 100 } }[latex] %
=[latex]\frac { 100(2*100+1) }{ { 100 } }[latex] %
=[latex]21[latex]%
মন্তব্যঃ
মাত্র দুই ধাপ জাতীয় অঙ্ক হলে [latex]100(x+y)+xy/100[latex]% সূত্রটি ব্যবহার করা উচিৎ। আর =[latex]\frac { ({ 100+x })^{ n }-{ 100 }^{ n } }{ { 100 }^{ n-1 } }[latex] % সূত্রটি কেবলমাত্র অ্যাডভান্সড স্টুডেন্টদের জন্যে।
Smart Numbers: Pick [latex]100[latex]
More often than not, percent problems include unspecified numerical amounts; often these unspecified amounts are described by variables.
A shirt that initially cost [latex]d[latex] dollars was on sale for [latex]20[latex]% off. If s represents the sale price of the shirt, [latex]d[latex] is what percentage of [latex]s[latex]?
This is an easy problem that might look confusing. To solve percent problems such as this one, simply pick 100 for the unspecified amount.
If the shirt initially cost $[latex]100[latex], then [latex]d=100[latex]. If the shirt was on sale for [latex]20[latex]% off, then the new price of the shirt is $[latex]80[latex]. Thus, [latex]s=80[latex].
The question asks: d is what percentage of [latex]s[latex], or [latex]100[latex] is what percentage of [latex]80[latex]? In order to solve this question, we need to use this formula.
Put is = [latex]100[latex]; of = [latex]80[latex]; and you will get the value of [latex]p[latex].
Therefore, [latex]d[latex] is [latex]125[latex]% of [latex]s[latex].
Interest Formulas
Certain percent problems require a working knowledge of basic interest formulas. The compound interest formula may look complicated, but it just expresses the idea of “successive percents” for a number of periods.
