[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (4) Decimals, Fraction, Percentage বিভাগের অধীনে 〈1〉Ratio, Proportion, Percent চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈4.1.a〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]
〈4.1.a〉 অনুপাত, সমানুপাত এবং শতকরা বিষয়ক আলোচনা
Ratios বা অনুপাতঃ
A ratio expresses a particular relationship between two or more quantities. Here are some examples of ratios:
The two partners spend time working in the ratio of [latex]1[latex] to [latex]3[latex]. For every [latex]1[latex] hour the first partner works, the second partner works [latex]3[latex] hours.
Three sisters invest in a certain stock in the ratio of [latex]2[latex] to [latex]3[latex] to [latex]8[latex]. For every Tk.[latex]2000[latex] the first sister invests, the second sister invests Tk. [latex]3000[latex], and the third sister invests Tk. [latex]8000[latex].
The ratio of men to women in the room is [latex]3[latex] to [latex]4[latex]. For every [latex]3[latex] men, there are [latex]4[latex] women.
Ratios
বিভিন্ন ভাবে প্রকাশ করা যায়, যেমনঃ
(1) “to” শব্দ যোগ করে, as in [latex]3[latex] to [latex]4[latex]
(2) colon চিহ্ন (:) ব্যবহার করে, as in [latex]3:4[latex]
(3) farction ব্যবহার করে, as in [latex]\frac { 3 }{ 4 }[latex] (only for ratios of [latex]2[latex] quantities)
Ratios can express a part-part relationship or a part-whole relationship:
A part-part relationship: যেমন, অফিসে নারী ও পুরুষের অনুপাত [latex]3:5[latex]
A part-whole relationship: যেমন, অফিসে প্রতি 8 জন কমীর মধ্যে [latex]3[latex] জন নারী
Notice that if there are only two parts in the whole, you can derive a part-whole ratio from a part-part ratio, and vice versa.
The relationship that ratios express is division:
If the ratio of men to women in the office is [latex]3:4[latex], then the number of men divided by the number of women equals [latex]3/4[latex], or [latex]0.75[latex].
সতর্কতাঃ #রেশিও শুধুমাত্র একটি আনুপাতিক ধারণা প্রকাশ করে। আমারে যদি বলা না থাকে যে ওই অফিসে মোট কত জন কর্মী আছে, তাহলে আমরা কিছুতেই নির্দিষ্ট করে বের করতে পারবো না যে কত জন নারী কর্মী আছেন।
Proportions
Simple ratio problems can be solved with a proportion.
The ratio of girls to boys in the class is [latex]4[latex] to [latex]7[latex]. If there are 35 boys in the class, how many girls are there?
পুরাতন (ঐকিক নিয়ম) পদ্ধতি:
৭ জন বালক থাকলে বালিকা থাকে ৪ জন
১ জন বালক থাকলে বালিকা থাকে ৪/৭ জন
৩৫ জন বালক থাকলে বালিকা থাকে [latex]\frac { 4 }{ 7 }*35[latex]
সময় সাশ্রয়ী আনুপাতিক পদ্ধতি:
এই পদ্ধতিতে আমরা সরাসরি প্রদত্ত তথ্য থেকে একটি ফ্র্যাকশন লিখে ফেলি, যার উপরে থাকে অনুপাতে উল্লেখিত বালিকার সংখ্যা আর নীচে থাকে অনুপাতে উল্লেখিত বালকের সংখ্যা। অর্থাৎ আমরা লিখলাম: [latex]\frac { 4girls }{ 7boys }[latex]
এরপর আমরা সমান চিহ্ন টেনে লিখলাম প্রশ্নে উলেখিত বালকের মোট সংখ্যা, যা হলো 35; এবং বালিকার সংখ্যা জানি না বলে বসালাম x। কাজেই এরকম পাওয়া গেলঃ
[latex]\frac { 4girls }{ 7boys }[latex] = [latex]\frac { xgirls }{ 35boys }[latex]
এখান থেকে সরাসরি হিসাব করেই পাওয়া যায় [latex]x[latex] এর মান [latex]20[latex]।
Ratio এবং উভয়ের সম্মিলিত মোট সংখ্যা দিয়ে জানতে চাওয়া হলো নির্দিষ্ট কিছুর প্রকৃত সংখ্যা
একটা অফিসে নারী ও পুরুষের অনুপাত [latex]3:4[latex], এবং ওই অফিসে মোট কর্মচারী [latex]21[latex] জন হলে পুরুষ কতজন?
এসব ক্ষেত্রে আমরা উপরে দেখানো সময়-সাশ্রয়ী আনুপাতিক পদ্ধতি প্রয়োগ করবো। এই অঙ্কটিতে কিন্তু বলা নেই মোট নারীর সংখ্যা কত। বলা আছে নারী ও পুরুষের সম্মিলিত মোট সংখ্যাটি কত। কাজেই, অনুপাতটিকে স্রেফ নারী:পুরুষ এভাবে লেখার পরিবর্তে আমরা পুরুষ: (মোট কর্মী সংখ্যা) এভাবে লিখবো।
[latex]\frac { 4men }{ 3+4people }[latex]=[latex]\frac { xmen }{ 21people }[latex]
যেখান থেকে হিসাব করে পুরুষের মোট সংখ্যা [latex]12[latex] বের করা যায়।
একটি তিন-অংশ বিশিষ্ট অঙ্ক দেখা যাক
The Unknown Multiplier is particularly useful with three-part ratios:
A recipe calls for amounts of lemon juice, apple juice, and water in the ratio of [latex]2:5:7[latex]. If all three combined yield [latex]35[latex] milliliters of liquid, how much apple juice was included?
এই অঙ্কটাতেও যথারীতি আমরা একটি #ফ্র্যাকশন ব্যবহার করে তার উপরের ভাগে লিখবো আপেল জুসের অনুপাত, আর নীচে যাবে তিনটি উপাদানের অনুপাতের যোগফল। সমান চিহ্ন দিয়ে ডান পাশে লিখবো #এক্স এবং প্রস্তুতকৃত জুসের মোট পরিমাণ। প্রস্তুতকৃত জুসে আপেল জুস কি পরিমাণ আছে সেটা আমরা জানি না বলেই #এক্স লিখছি।
[latex]\frac { 5parts }{ 2+5+7parts }[latex]=[latex]\frac { x }{ 35 }[latex]
এখান থেকে #এক্স এর মান বের করতে হবে।
Multiple Ratios থাকলে কিভাবে একটি Common Term এ আনতে হবে
Look at this problem:
[latex]A, B[latex] and [latex]C[latex] are three friends who invested money in share market. The ratio of [latex]A:B[latex] is [latex]2:3[latex] and [latex]B:C[latex] is [latex]4:5[latex]. If [latex]C[latex] invests Tk. [latex]30,000[latex] then how much did [latex]A[latex] invest?
দুইটি সংখ্যার #রেশিওদের কে আমরা সাধারণ #ফ্র্যাকশনের মতো করে বিবেচনা করতে পারি
Now,
[latex]\frac { A }{ B }=\frac { 2*4 }{ 3*4 }=\frac { 8 }{ 12 }[latex]
And [latex]\frac { B }{ C }=\frac { 4*3 }{ 5*3 }=\frac { 12 }{ 15 }[latex]
এখন উভয় #ইকুয়েশনের মধ্যে [latex]B[latex] আছে, এবং [latex]B[latex]এর আনুপাতিক মান একই ([latex]12[latex])। কাজেই, আমরা সরল হিসাবে লিখতে পারি [latex]A:B=8:12[latex] and [latex]B:C=12:15[latex]
Therefore, [latex]A:B:C=8:12:15[latex]
Now we can write the formula as [latex]A[latex]’s investment/[latex]C[latex]’s investment=[latex]8/15[latex]=[latex]A[latex]’s total investment/[latex]C[latex]’s total investment
or, [latex]8/15[latex]=[latex]A[latex]’s total investment/[latex]30000[latex]tk
or, [latex]A[latex]’s total investment=[latex]16,000[latex]tk (ans)
Percents
ডেসিমাল ও ফ্র্যাকশন হলো খন্ড অংশ প্রকাশের দুটি মাধ্যম। খন্ড অংশ বলতে বোঝানো হচ্ছে, একটি সম্পূর্ণ অংশের কতটুকু অংশ তা। এ ছাড়া তৃতীয় যে মাধ্যম ব্যবহৃত হয় তা হলো #পার্সেন্ট। #পার্সেন্ট শব্দটার আভিধানিক অর্থ হলো “প্রতি এক শত তে”। এ জন্যে যদি বলা হয় ৪০% তাহলে আমরা বুঝে নিই যে, প্রতি এক শত তে ৪০ টি। পার্সেন্টের এর একটি ব্যবহারিক উদাহরণ দেখা যাক।
[latex]75[latex]% of the students like chocolate ice cream.
This means that, out of every [latex]100[latex] students, [latex]75[latex] like chocolate ice cream.
In fraction form, we write this as [latex]75/100[latex] which simplify to [latex]3/4[latex]
In decimal form, we write this as [latex]0.75[latex] or seventy-five hundredths. Note that the last digit of the percent is in the hundredths place value.
One common mistake is the belief that [latex]100[latex]% equals [latex]100[latex]. This is not correct. In fact, [latex]100[latex]% means [latex]100/100[latex] or one hundred hundredths. Therefore, [latex]100[latex]% = [latex]1[latex].
Percents as Decimals: Multiplication Shortcut
One way of working with percents is by converting ‘them into decimals. Percents can be converted into decimals by moving the decimal point [latex]2[latex] spaces to the left.
Example:
[latex]70.7[latex]% = [latex]0.707 75[latex]% = [latex]0.75[latex]
A decimal can be converted into a percentage by moving the decimal point two spaces to the right.
For example:
[latex]0.6=60[latex]% [latex]0.28=28[latex]% [latex]0.459=45.9[latex]%
Few things to remember:
1. The percentage is always bigger than the decimal! [latex]0.35[latex] এবং [latex]35[latex]% একই কথা। [latex]35[latex] সংখ্যাটি [latex]0.35[latex] এর চেয়ে বড়, যার শেষে % চিহ্নটি লাগাতে হবে।
2. Note that there are numbers greater than [latex]100[latex]%. If [latex]100[latex]% = [latex]1[latex], consider the following:
[latex]2=200[latex]% [latex]3=300[latex]%
[latex]4.1=410[latex]% [latex]5.68=568[latex]%
সংখ্যার পাশের % চিহ্নটিকে উঠিয়ে দিলে ওই সংখ্যার নিচে [latex]100[latex] দিয়ে ভাগ দেখাতে হয়। আর of টার্মটি উঠিয়ে দিলে সেখানে একটি গুণ ([latex]*[latex]) চিহ্ন আনতে হয়। কাজেই [latex]65[latex]% of [latex]500[latex] অংশটিকে আমরা লিখতে পারি: [latex](65/100)*500[latex] which equals [latex]325[latex].
Simplest rule: look for “is” and “of” in the question. Because,
Look closely to the questions and you will find these three words with numbers. Here are some examples:
Percent এবং Fraction কে পরষ্পরের মাধ্যমে প্রকাশ করার চার্ট
নীচের টেবিলটি ভালো করে আত্তস্থ করুন।
Most common percentages with fractional equivalents (please remember these):
A very frequently asked math concept: (VVI for the test)
[latex]a[latex]% of [latex]b[latex] is equal to [latex]b[latex]% of [latex]a[latex]
Percent (%) increase or decrease
Formula:
% increase = (amount of increase/base)*[latex]100[latex]
Example:
A bike was bought for $[latex]240[latex]. If its market value is now $[latex]300[latex], then calculate the percentage of increase of price.
Amount increased = $[latex]300[latex]-$[latex]240[latex] = $[latex]60[latex].
Base price = $[latex]240[latex].
So, % increased = ([latex]60/240)*100[latex]% (ans)
