[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (3) Number Properties বিভাগের অধীনে 〈1〉Types of Numbers চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈3.1.a〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]
〈3.1.a〉বিভিন্ন ধরণের সংখ্যা, স্থানীয় মান এবং কিছু পদ্ধতি
এক নজরে এই অধ্যায়ের সূত্রসমূহ:
- যে ডিজিট পর্যন্ত rounding up করতে হবে তার ঠিক পরের ডিজিটের দিকে নজর দিতে হবে। যদি সেটা [latex]4[latex] বা তার কম হয়, তাহলে সেটাকে [latex]0[latex] লিখে তার বামের ডিজিট যা আছে তাই রাখতে হবে। আর যদি [latex]5[latex] বা তার বেশী হয় তাহলে সেটাকে [latex]0[latex] লিখে তার ঠিক বামের ডিজিটটি [latex]1[latex] বাড়িয়ে লিখতে হবে।
- জোড় সংখ্যা [latex]2[latex] দিয়ে বিভাজ্য।
- বিজোড় সংখ্যা [latex]2[latex] দিয়ে বিভাজ্য না।
- শূণ্য একটি জোড় সংখ্যা।
- যখন আমরা অনেকগুলো পূর্ণ সংখ্যা গুণ করি তখন এর মধ্যে একটিও যদি জোড় সংখ্যা হয় তখন ফলাফল জোড় সংখ্যা হবে অন্যথায় বিজোড় সংখ্যা হবে।
- সমজাতীয় জোড় সংখ্যক নাম্বারের যোগফল বা বিয়োগফল জোড় সংখ্যা।
- বিজোড় সংখ্যক জোড় সংখ্যার যোগফল বা বিয়োগফল জোড় সংখ্যা।
- বিজোড় সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার যোগফল বা বিয়োগফল বিজোড় সংখ্যা।
DECIMALS এবং তার basic কিছু ধারণা
Decimals বা দশমিকের ধারণা বিভিন্ন পরীক্ষার জন্যে অতি গুরুত্বপূর্ণ। আপনাকে যদি হঠাৎ প্রশ্ন করা হয়, একটি সংখ্যা বলুন তো? আপনি হয়ত বলবেন [latex]3, 5, 15[latex] বা এ রকমের কিছু। কিন্তু “সংখ্যা” টার্মটি অতি ব্যাপক এবং এটা শুধু পূর্ণ সংখ্যা নিয়েই গঠিত নয়, বরং সেখানে ভগ্নাংশ, নেগেটিভ, শূন্য এরকম নানান ধরণের সংখ্যা রয়েছে। এমনকি বাস্তব সংখ্যার জগতের বাইরে কাল্পনিক বা imaginary সংখ্যাও রয়েছে। যা হোক, decimal বা দশমিক যুক্ত সংখ্যা হলো সেই সংখ্যা যা নাম্বার লাইনের উপরে দুইটি ইনিটিজারের মাঝে কোন একটি জায়গাতে অবস্থিত। নীচের ছবিতে দেখুন [latex]2.5[latex] এবং [latex]4.3[latex] সংখ্যাটি নাম্বার লাইনে কোথায় অবস্থান করছে।
Some other examples of decimals include:
Decimals less than [latex]-1[latex]: [latex]-3.65,-12.01,-145.9[latex] Decimals between [latex]-1[latex] and [latex]0[latex]: [latex]-0.65,-0.8912,-0.076[latex] Decimals between [latex]0[latex] and [latex]1[latex]: [latex]0.65,0.8912, 0.076[latex] Decimals greater than [latex]1[latex]: [latex]3.65, 12.01, 145.9[latex]
Note that an integer can be expressed as a decimal by adding the decimal point and the digit [latex]O[latex]. For example:
[latex]8=8.0[latex] [latex]-123=-123.0[latex] [latex]400=400.0[latex]
DIGITS
যে কোন সংখ্যা এক বা একাধিক ডিজিটের সমন্বয়ে গঠিত। ডিজিট শব্দটির দ্বিতীয় আরেক অর্থ হলো হাত বা পায়ের আঙুল। সভ্যতার শুরুতে মানুষ গুণতে শিখে আঙুলের সাহায্যে বলেই হয়তো ডিজিট শব্দটি এখনো রয়ে গেছে।
ডিজিট ছাড়া আর যে দুটি চিহ্ন ব্যবহৃত হয় কোন সংখ্যাকে প্রকাশ করার জন্যে তা হলো যোগ/বিয়োগ চিহ্ন এবং দশমিক প্রকাশের জন্যে একটি ডট (.)। উদাহরণস্বরূপ [latex]342[latex] সংখ্যাটি তিনটি ডিজিটের দ্বারা গঠিত, যথাঃ [latex]3, 4[latex] এবং [latex]2[latex]।
এক ডিজিট দিয়ে গঠিত সংখ্যা দশটি ([latex]0[latex] থেকে [latex]9[latex])।
ইন্টিজার নয় এরকম সংখ্যাগুলোকে হয় ডেসিমাল চিহ্ন বা fraction আকারে প্রকাশ করতে হয়। যেমন, [latex]2.5[latex] বা [latex]5/2[latex]।
সংখ্যার মধ্যে ডিজিটের অবস্থান ও তার গুরুত্ব
সংখ্যার একক, দশক, শতক ইত্যাদি অংশে থাকা ডিজিটগুলোর সাহায্যে ওই সংখ্যার প্রকৃত মান বের করা যায়। তবে সবার আগে চলুন আমরা নিচের ছবি থেকে কতগুলো ইংলিশ টার্ম শিখে নেই। ছবিতে একটি বড় সংখ্যাকে অ্যানালাইসিস করে দেখানো হয়েছে।
লক্ষ্য করুন, ডেসিমালের বামে থাকা প্রত্যেকটি অংশকে ডাকা হয় তা কততম অবস্থানে আছে তার শেষে একটি s যোগ করে। আর দশমিকের পরে বা ডান পাশের ডিজিটগুলোকে ডাকা হয় শেষে ths যোগ করে। কাজেই, একটি সংখ্যাকে hundreds ডিজিট র্পযন্ত রাউন্ড আপ করতে বলা আর hundredths ডিজিট র্পযন্ত রাউন্ড আপ করতে বলা সম্পূর্ণ ভিন্ন বিষয়। একটু সতর্ক থাকতে হবে।
আরেকটা বিষয়। বাংলাদেশে আমরা “শত” ধারণার সাথে বেশি পরিচিত; যেমন, এক শত হাজারে এক লাখ; আর এক শত লাখে এক কোটি, এরকম। ইংরেজিতে এসব ক্ষেত্রে “হাজার” এর ধারণা প্রয়োগ করতে হয়। যেমন, এক হাজার হাজারে এক মিলিয়ন, এক হাজার মিলিয়নে এক বিলিয়ন। মিলিয়ন আর লাখ এর সম্পর্কটি গুলিয়ে ফেলবেন না। মনে রাখবেন, দশ লাখে এক মিলিয়ন। বাংলাদেশে [latex]15[latex] কোটি লোক বাস করে কথাটিকে ইংলিশে বলার সময় ”[latex]150[latex] মিলিয়ন পিপল” এভাবে বলতে হয়।
You may need to write a number as sum of some other numbers or fractions, which are quite common in various exams.
For instance, [latex]243[latex] can be written as:
[latex]2*100=200[latex]
[latex]4*10=40[latex]
[latex]3*1=3[latex]
_______________
Sum = [latex]200+40+3=243[latex]
—–
উপরের বড় সংখ্যাটির দশমিকের ডান পাশের অংশটির দিকে তাকানো যাক।
Let us analyze the end by the preceding number: [latex]0.8347[latex]!
[latex]8[latex] is in the tenths place, giving it a value of [latex]8[latex] tenths, or [latex]8/10[latex]
[latex]3[latex] is in the hundredths place, giving it a value of [latex]3[latex] hundredths, or [latex]3/100[latex]
[latex]4[latex] is in the thousandths place, giving it a value of [latex]4[latex] thousandths, or [latex]4/1000[latex]
[latex]7[latex] is in the ten thousandths place, giving it a value of [latex]7[latex] ten thousandths, or [latex]7/10,000[latex]
এবার এই সবগুলো ফ্র্যাকশন এক সাথে যোগ করে মূল [latex]0.8347[latex] সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।
ডলার, কোয়ার্টার, ডাইম, পেনি ইত্যাদির ধারণা
অ্যামেরিকান মুদ্রায় কাগজের নোট (বৃটিশ নোট = আমেরিকান বিল) সবচেয়ে বড় হলো [latex]100[latex] ডলার, আর সবচেয়ে ছোট হলো [latex]1[latex] ডলার বিল। [latex]1[latex] ডলার বিলের নীচে সবগুলো হলো ধাতব কয়েন।
[latex]1/4[latex] ডলার = [latex]1[latex] কোয়ার্টার কয়েন = [latex]25[latex] সেন্ট
[latex]1/10[latex] ডলার = [latex]1[latex] ডাইম = [latex]10[latex] সেন্ট
[latex]1/20[latex] ডলার = [latex]1[latex] নিকেল = [latex]5[latex] সেন্ট
[latex]1/100[latex] ডলার = [latex]1[latex] সেন্ট = [latex]1[latex] পেনি
Using Place Value
আগে নীচের অঙ্কটি সমাধানের চেষ্টা করুন, তারপর এ বিষয়ে আলোচনা করা হবে।
[latex]A[latex] and [latex]B[latex] are both two-digit numbers, with [latex]A>B[latex]. If [latex]A[latex] and [latex]B[latex] contain the same digits, but in reverse order, what integer must be a factor of [latex](A-B)[latex]?
(A) 4
(B) 5
(C) 6
(D) 8
(E) 9
অজানা ভেরিয়েবল দিয়ে সংখ্যা তৈরী করাঃ
যদি কোন সংখ্যার ones, tens and hundreds ডিজিট যথাক্রমে [latex]x, y[latex] and [latex]z[latex] হয়, তাহলে সংখ্যাটি হবে = [latex]100z+10y+x[latex]
সংখ্যার ফ্লিপ (flip) বা উল্টে দেওয়া বা রিভার্স (reverse) করা।
ধরা যাক কোন দুই অংকের সংখ্যার একক স্থানীয় ডিজিট [latex]x[latex] ও দশক স্থানীয় ডিজিট [latex]y[latex]। তাহলে সংখ্যাটি হবে: [latex]10y+x[latex]
এবার সংখ্যাটি ফ্লিপ করা যাক, অর্থাৎ ডিজিট দুইটি স্থান বিনিময় করুক। তাহলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি হবে: [latex]10y+x[latex]
মূল সংখ্যা থেকে ফ্লিপ করা সংখ্যাটা বিয়োগ দিন।
[latex](10x+y)-(10y+x)[latex]
= [latex]9x-9y[latex]
= [latex]9(x-y)[latex]
অর্থাৎ মূল সংখ্যা ও তার ফ্লিপকৃত সংখ্যার ব্যবধান সব সময় হবে ডিজিট দুইটির ব্যবধানের নয় গুণ, যা কি না অবশ্যই ৯ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং এই সংখ্যাটি অবশ্যই ৯ এর multiple হবে। বিপরীত ভাবে বলতে গেলে, এই সংখ্যাটির একটি factor হবে [latex]9[latex]।
উপরের অঙ্কটির উত্তর কি হবে তা নিশ্চয়ই এতক্ষণে বুঝে গেছেন। এবার তিন ডিজিট বিশিষ্ট সংখ্যার ক্ষেত্রে এই পরীক্ষাটা করা যাক।
Unit’s digit = [latex]x[latex]
Tens digit = [latex]y[latex]
Hundreds digit = [latex]z[latex]
So, the number is = [latex]100z+10y+x[latex]
The flipped number will be = [latex]100x+10y+z[latex]
The difference will be ([latex]100z+10y+x)-(100x+10y+z[latex])
= [latex]99z-99x[latex]
=[latex]99(z-x)[latex]
এই সংখ্যাটিও কিন্তু [latex]9[latex] এর multiple।
Rounding to the Nearest Place Value
অনেক সময় সংখ্যার মধ্যে ডিজিটের মান দেখে তার আগের ডিজিটকে এক ঘর বাড়িয়ে বা কমিয়ে লেখা যায়, যাকে বলে rounding up। Rounding up এর ধারণা প্রতিদিনকার জীবনে কাজে লাগে যখন খুব পর্যাপ্ত পরিমাণ ছোট ইউনিটের যোগান না থাকে। কল্পনা করুন, একজন দোকানদার শুধু মাত্র [latex]1[latex] টাকার নোট বিনিময় করেন। কাজেই, কেউ যদি তার কাছ থেকে [latex]70[latex] পয়সার পণ্য কেনেন, তিনি তার কাছ থেকে পুরো [latex]1[latex] টাকাই গ্রহণ করবেন। সেক্ষেত্রে ক্রেতার [latex]30[latex] পয়সা লোকসান হলো। আবার, কারো কাছে [latex]1[latex] টাকা [latex]40[latex] পয়সার পণ্য বিক্রি করার পরে তিনি দুইটি এক টাকার নোট রাখতে পারেন না, কেননা সেক্ষেত্রে ক্রেতার [latex]60[latex] পয়সা লোকসান হয়। বরং উনি [latex]1[latex] টাকা রাখবেন, কেননা সেক্ষেত্রে লোকসানের পরিমাণ [latex]40[latex] পয়সা।
Rounding up এর মূলনীতি হলো লোকসান কমানো। সে লোকসান যার দিকেই হোক না কেন। কল্পনা করুন, যদি কোন দোকানদার শুধুমাত্র [latex]100[latex] টাকার নোটের লেনদেন করেন, তাহলে তিনি [latex]110[latex] টাকার পণ্য বেচে [latex]100[latex] টাকা রাখবেন; আবার [latex]160[latex] টাকার পণ্য বেচে [latex]200[latex] টাকা রাখবেন। আবার শুধু [latex]40[latex] টাকার পণ্য বিক্রি হলে উনি সেটা ফাউ ছেড়ে দেবেন (কারণ এক্ষেত্রে উনার লস হলো [latex]40[latex], কিন্তু ক্রেতা [latex]100[latex] টাকা দিলে তার লস হতো [latex]60[latex] টাকা)।
যে ডিজিট র্পযন্ত Rounding up করতে হবে তার ঠিক পরের ডিজিটের দিকে নজর দিতে হবে। যদি সেটা [latex]4[latex] বা তার কম হয়, তাহলে সেটাকে [latex]0[latex] লিখে তার বামের ডিজিট যা আছে তাই রাখতে হবে। আর যদি [latex]5[latex] বা তার বেশি হয় তাহলে সেটাকে [latex]0[latex] লিখে তার ঠিক আগের (বামের) ডিজিটটি [latex]1[latex] বাড়িয়ে লিখতে হবে।
যেমন, নীচের উদাহরণটি দেখা যাক। আমাদের শতকের ঘর (hundred) র্পযন্ত rounding up করতে হবে। hundred ঘর হলো ডিজিট [latex]4[latex]। এর ঠিক পরের ডিজিট হলো [latex]8[latex] (কালো চিহ্নিত)।
যেহেতু [latex]8[latex] সংখ্যাটি [latex]4[latex] এর বড়, hundred ডিজিট পর্যন্ত রাউন্ড আপ করতে আমাদের কালো ঘরের [latex]8[latex] সংখ্যাটিকে [latex]0[latex] লিখে তার আগের [latex]4[latex] সংখ্যাটিকে [latex]5[latex] লিখতে হবে। আর [latex]8[latex] এর পরে যত সংখ্যা থাকুক, সেগুলোকেও [latex]0[latex] লিখতে হবে।
Rounding up করতে [latex]4.7[latex] কে [latex]5.0[latex] লিখতে হয়; আর [latex]7.1[latex] কে শুধু [latex]7.0[latex] লিখতে হয়।
কুইজঃ
If [latex]x[latex] is the decimal [latex]8.1d5[latex], with [latex]d[latex] as an unknown digit, and [latex]x[latex] rounded to the nearest tenth is equal to [latex]8.1[latex], which digits could not be the value of [latex]d[latex]?
In order for [latex]x[latex] to be [latex]8.1[latex] when rounded to the nearest tenth, the right-digit-neighbor, [latex]d[latex], must be less than [latex]5[latex]. Therefore [latex]d[latex] cannot be [latex]5,6,7,8[latex] or [latex]9[latex].
Adding Zeroes to Decimals
Adding zeroes to the end of a decimal or taking zeroes away from the end of a decimal does not change the value of the decimal. For example: [latex]3.6=3.60=3.6000[latex]. অর্থাৎ দশমিকের ডানের ডিজিটগুলোর শেষে ডান দিকে যতই শূন্য যোগ করা হোক, মানের কোন পরিবর্তন হয় না।
Be careful, however, not to add or remove any zeroes from within a number. Doing so will change the value of the number: [latex]7.017.1[latex]
Powers of [latex]10[latex]: shifting the Decimal
Place values continually decrease from left to right by powers of [latex]10[latex]. Understanding this can help you understand the following shortcuts for multiplication and division.
When you multiply any number by a positive power of ten, move the decimal forward (right) the specified number of places. This makes positive numbers larger:
[latex]3.9742*{ 10 }^{ 3 }=3974[latex] (Move the decimal forward [latex]3[latex] spaces.)
[latex]89.507*10=895.07[latex] (Move the decimal forward [latex]1[latex] space.)
When you divide any number by a positive power of ten, move the decimal backward (left) the specified number of places. This makes positive numbers smaller:
[latex]4169.2/{ 10 }^{ 2 }=41.692[latex] (Move the decimal forward [latex]2[latex] space.)
[latex]89.507/10=8.9507[latex] (Move the decimal backward [latex]1[latex] space.)
Note that if you need to add zeroes in order to shift a decimal, you should do so:
[latex]2.57*{ 10 }^{ 6 }=2570000[latex] (Add [latex]4[latex] zeroes at the end.)
[latex]14.29 /{ 10 }^{ 5 }=0.0001429[latex] (Add [latex]3[latex] zeroes at the beginning.)
Finally, note that negative powers of ten reverse the regular process:
[latex]6782.01*{ 10 }^{ -3 }=6.78201[latex]
You can think about these processes as trading decimal places for powers of ten.
For instance, all of the following numbers equal [latex]110,700[latex].
The first number gets smaller by a factor of [latex]10[latex] as we move the decimal one place to the left, but the second number gets bigger by a factor of [latex]10[latex] to compensate.
Addition And Subtraction
To add or subtract decimals, make sure to line up the decimal points. Then add zeroes to make the right sides of the decimals the same length.
Multiplication
To multiply decimals, ignore the decimal point until the end. Just multiply the numbers as you would if they were whole numbers. Then count the total number of digits to the right of the decimal point in the factors. The product should have the same number of digits to the right of the decimal point.
There are 3 digits to the right of the decimal point in the factors ([latex]0[latex] and [latex]2[latex] in the first factor and [latex]4[latex] in the second factor). Therefore, move the decimal point [latex]3[latex] places to the left in the product: [latex]28[latex]=>[latex]0.028[latex].
If the product ends with [latex]0[latex], count it in this process: [latex]0.8*0.5=0.40[latex], since [latex]8*5=40[latex].
অনেক বড় সংখ্যাকে অনেক ছোট সংখ্যা দিয়ে গুণঃ
If you are multiplying a very large number and a very small number, the following trick works to simplify the calculation: move the decimals in the opposite direction the same number of places.
[latex]0.0003*40,0001=[latex]?
Move the decimal point RIGHT four places on the [latex]0.0003[latex]=>[latex]3[latex]
Move the decimal point LEFT four places on the [latex]40000[latex]=>[latex]4[latex]
[latex]0.0003*40,000=3*4=12[latex]
মূলকথাঃ বড় সংখ্যাটির যত ঘর বামে দশমিক সরবে, ছোট সংখ্যার ঠিক তত ঘর ডানে দশমিক সরবে।
Positives & Negatives
Numbers can be either positive or negative (except the number [latex]0[latex], which is neither).
Positive: [latex]1,2,3[latex]…..
Negative: [latex]-1,-2,-3[latex]…
Absolute Value: Absolutely Positive
Absolute value বা পরম মানকে সংখ্যা বা variable এর দুই পাশে দুটি খাড়া দাগ চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়। যেমন, নীচে দেখানো হয়েছে।
|[latex]5[latex]|=[latex]5[latex]
|[latex]-5[latex]|=[latex]5[latex]
Absolute value থাকলে বোঝায় ওই সংখ্যাটি নাম্বার লাইনের উপরে শূন্য থেকে কতটা দূরে অবস্থিত (বামে হোক বা ডানে হোক; অর্থাৎ, পজেটিভ হোক বা নেগেটিভ হোক)।
যেমন, নীচের ছবিতে দেখুন দিয়ে প্রকাশ করার কারণে 3 এর অবস্থান নম্বর লাইনে দুইটি স্থানের যে কোন একটিতে হতে পারে।
On the number line above, note that [latex]3[latex] and [latex]-3[latex] are the same distance from [latex]0[latex], which is located halfway between them. In general, if two numbers are opposites of each other, then they have the same absolute value, and [latex]0[latex] is halfway between. If [latex]x=-y[latex], then we have either (নীচের ছবি দুইটির যে কোন একটি) of these:
Odds & Evens (জোড় ও বেজোড়)
Even numbers are integers that are divisible by [latex]2[latex].
Odd numbers are integers that are not divisible by [latex]2[latex].
All integers are either even or odd.
Consecutive integers alternate between even and odd: [latex]9,10,11,12,13[latex] .
Negative integers are also either even or odd:
Evens: [latex]-2,-4,-6,-8,-10,-12[latex]… Odds: [latex]-1,-3,-5,-7,-9,-11[latex]…
Addition, Subtraction and Multiplication
To summarize so far:
Odd\pm Even=ODD
Odd\pm Odd=ODD
Even\pm Even=EVEN
Odd*Odd=ODD
Even*Even=EVEN
Odd*Even =EVEN
গুণের ব্যাপারটা সহজে মনে রাখতেঃ
গুণের ক্ষেত্রে গুণফল বিজোড় পাওয়ার শর্ত হলো, যেগুলোকে গুণ করা হচ্ছে তাদের মধ্যে একটিও জোড় হতে পারবে না। আর গুণফল জোড় পাওয়ার শর্ত হলো, যেগুলোকে গুণ করা হচ্ছে, তাদের অন্তত একটি যেন জোড় হয়।
শুধুমাত্র অ্যাডভান্সড স্টুডেন্টদের জন্যেঃ
উপরে যে যোগ/বিয়োগ এর ব্যাপারটা আলোচনা করা হয়েছে সেটা হলো দুইটি মাত্র সংখ্যার যোগ/বিয়োগ। কিন্তু যদি এক হাজারটা ভিন্ন ভিন্ন বেজোড় সংখ্যা এক সাথে যোগ করা হয়? কিংবা [latex]999[latex] টি ভিন্ন ভিন্ন জোড় সংখ্যা? নীচের আলোচনাটি মন দিয়ে পড়ুন।
like অর্থ একই জাতীয়। অর্থাৎ হয় সবগুলোই জোড় হবে অথবা সবগুলোই বেজোড় হবে।
- ২টি জোড়ের যোগফল জোড় হবে
- ২০০টি বেজোড়ের যোগফলও জোড় হবে
- ৩০০টি জোড় সংখ্যার মধ্যে কিছুর আগে plus ও বাকীদের আগে minus চিহ্ন আছে (means, some are in addition, some are in subtraction), সামগ্রিক যোগফল কিন্তু জোড় হবে।
- 98 টি বেজোড় সংখ্যার মধ্যে কিছু plus, কিছু minus। যোগফল অবশ্যই জোড় হবে।
উপরের সূত্রের শর্ত একটাই, মোট টার্ম এর সংখ্যা জোড় সংখ্যক হতে হবে এবং সবগুলোই “সমজাতীয়” হতে হবে।
If there are ODD number of terms, then…
[latex]15[latex] even numbers are summed to make an even number. But [latex]49[latex] odds are summed to yield an odd number. Here “summed” means plus & minus may be in a mixed fashion.
টাফ কুইজঃ
[latex]40[latex] of a set of [latex]99[latex] numbers are odd, and the remaining are even. If [latex]30[latex]% of the total numbers are negative, then will the sum of all of these [latex]99[latex] numbers be positive?
Division
Note: An odd number divided by any other integer CANNOT produce an even integer. Also, an odd number divided by an even number CANNOT produce an integer, because the odd number will never be divisible by the factor of [latex]2[latex] concealed within the even number.
Advanced Students Only
Testing Odd & Even Cases
If [latex]a,b[latex], and [latex]c[latex] are integers and [latex]ab+c[latex] is odd, which of the following must be true? [latex]a+c[latex] is odd [latex]b+c[latex] is odd [latex]abc[latex] is even
(A) I only
(B) II only
(C) III only
(D) I and III only
(E) II and III only
Here, [latex]a,b[latex] and [latex]c[latex] could all possibly be odd or even. Some combinations of Odds & Evens for [latex]a,b[latex] and [latex]c[latex] will lead to an odd result. Other combinations will lead to an even result. We need to test each possible combination to see what the result will be for each. Set up a table, as on the next page, and fill in the possibilities.
Scenarios [latex]2,3,5[latex] and [latex]7[latex] yield an odd result, and so we must focus only on those scenarios. We can conclude that Statement I is false (Scenario [latex]3[latex] yields [latex]a+c=[latex]EVEN), Statement II is false (Scenario [latex]5[latex] yields [latex]b+c=[latex]EVEN), and Statement III is true (all [latex]4[latex] working scenarios yield [latex]abc=[latex]EVEN). Therefore, the correct answer is (C).
