[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (2) Algebra বিভাগের অধীনে 〈5〉Inequality চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈2.5.a2〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]
অসমতার অংক
অনেক সময় অসমতার দুই বা ততোধিক স্টেটমেন্ট থেকে অজানা রাশির মান বের করার দরকার হয়। এসব ক্ষেত্রে ছবি এঁকে সমাধান করার জুড়ি নেই। আসল জিআরই থেকে আসা একটা অঙ্ক দিয়ে উদাহরণ দেই, বুঝতে সুবিধা হবে।
Sample Problem (From Real GRE)
Provided, [latex]20<4x<28[latex] and [latex]8<x+4<11[latex]
- Quantity A: [latex]x[latex]
- Quantity B: [latex]5[latex]
যারা এ ধরণের অঙ্কের সাথে পরিচিত না তাদের জন্য চট করে বলে নিই, প্রদত্ত তথ্য থেকে আপনাকে বের করতে হবে যে Quantity A এবং Quantity B এর মধ্যে কোনটি বড়। যদি দুটি সমান হয় তাহলে উত্তর C, আর প্রদত্ত তথ্য থেকে কোন সিদ্ধান্তে পৌঁছানো না গেলে উত্তর হবে D. মানে এখানে আমাদের বলতে হবে [latex]x[latex] বড় নাকি [latex]5[latex] বড়।
যেভাবে অগ্রসর হবেনঃ
প্রথমে প্রথম স্টেটমেন্ট থেকে লেখা যায়ঃ
[latex] 20<4x<28\\ \equiv \quad 5<x<7\quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad (i)[latex]
এবার দ্বিতীয় স্টেটমেন্ট থেকে আমরা লিখতে পারিঃ
[latex]8<x+4<11\\ \equiv \quad 8-4<x<11-4\\ \equiv \quad 4<x<7\quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad (ii)[latex]
ছবি আঁকা
এই মুহূর্তে অঙ্কটা যে পর্যায়ে এসেছে, তা (i) আর (ii) বিবেচনা করেই উত্তর বলে দেওয়া যায়। কিন্তু আরো ভালো করে বোঝার জন্য চলুন একটা ছবি আঁকা যাক। এখানে সংখ্যাগুলো যেহেতু 4 থেকে 7 এর মধ্যে, আমরা কাগজে 4, 5, 6 এবং 7 দিয়ে একটা খোপ কেটে ফেলি।
এবার প্রথম স্টেটমেন্ট অনুসারে x এর অবস্থান 5 এর বড় কিন্তু 7 এর ছোট বলে এই খোপটিকে আমরা মার্ক করে ফেললাম, (চিত্র ১, সবুজ অংশ)।
এবার দ্বিতীয় স্টেটমেন্ট অনুসারে x এর অবস্থান 4 এর বড় কিন্তু 7 এর ছোট। তাই নীচের ছবি অনুসারে খোপগুলো আমরা মার্ক করে ফেললাম, (চিত্র ২, লাল অংশ)।
এবার দুই ছবি একসাথে করে আমরা পাই চিত্র ৩। এবার মূল অঙ্কের কাছে ফিরে গিয়ে দেখুন সেখানে কি AND বলা আছে নাকি OR বলা আছে। সেখানে বলা আছে AND, যার মানে উভয় ছবিই সত্য হতে হবে। যদি OR থাকতো তাহলে আমরা পুরো লাল অংশটাই বিবেচনা করতে পারতাম (কারণ সবুজ হচ্ছে লালের একটা সাবসেট)। কিন্তু যেহেতু এখানে AND আছে, আমাদের কেবল ওই অংশটুকু বিবেচনায় আনতে হবে, যা উভয় ছবিরই কমন অংশ। সুতরাং আমরা চিত্র ৪ অনুসারে কেবল হলুদ অংশটুকু নিতে পারছি। অর্থাৎ ভাষা দিয়ে বর্ণনা করলে বলতে হয়, x এর মান 5 এর বড় কিন্তু 7 এর ছোট। কাজেই উভয় কলাম বিচেনা করে উত্তর হলো A.
আরো জটিল চিত্র
যদি তিন বা চারটি স্টেটমেন্ট থাকে তাহলেও ছবি ব্যবহার করে অল্প সময়ে সমাধানে পৌঁছানো যায়।
যদি [latex]x[latex] এর মান ছোট সংখ্যারও ছোট হয় আবার বড় সংখ্যারও বড় হয় তাহলে অনেক স্টুডেন্টকে গালে হাত দিয়ে ভাবনায় পড়তে দেখা যায়। এসব ক্ষেত্রে চিত্র দিয়ে সহজেই বিষয়টা বোঝা যায়। যেমন, ধরা যাক কোন স্টেটমেন্ট হলো
[latex]4>x>7\quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad (iii)[latex]
এর মানে যা বোঝানো হয়েছে তা চিত্র ৫-এ দেখানো হলো। সহজ ভাষায় বললে, [latex]x[latex] হবে [latex]4[latex] এর ছোট কিন্তু [latex]7[latex] এর বড়; যা একটি নো ম্যান্স ল্যান্ডের দুই পাশে অসীম পর্যন্ত যে কোন সংখ্যা (মেরুন অংশ) হতে পারে।[latex] x[latex] এর মান কেবল এই দুই অঞ্চলের মধ্যের ফাঁকা জায়গা (বেগুণী অংশ) হতে পারে না। অন্য কথায়, এর মান [latex]-3, -2.56, 0, 1, 2.5[latex] যা ইচ্ছা হতে হতে [latex]4[latex] এর একদম নিকট পর্যন্ত কিছু হতে পারে; কিন্তু তার পরের সংখ্যাটাই হবে [latex]7[latex] এর বড় যে কোন সংখ্যা, [latex]7.00001, 8, 9, 10[latex] ইত্যাদি।
এরকম দুটি বা তিনটি আলাদা স্টেটমেন্ট থাকলে সেক্ষেত্রে চিত্র আঁকা ছাড়া অঙ্ক করা খুবই দুরূহ। অনেকে ছবি না এঁকে অঙ্ক করতে গিয়ে সময় নষ্ট করেন; আশা করি এই টেকনিকটি কাজে লাগাবেন।
যে কোন আলোচনার জন্য আমাদের অফিসিয়াল ফেইসবুক গ্রুপ fb.com/groups/grecenter – এ পোস্ট করুন।
