[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (2) Algebra বিভাগের অধীনে 〈2〉Exponents in Equation চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈2.2.a〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]
〈2.2.a〉সমীকরণ, সূচক প্রভৃতি বিষয়ক আলোচনা
এক নজরে এই অধ্যায়ের সূত্রসমূহ
• Exponents বা সূচক যদি জোড় সংখ্যা হয় তবে সেই equation এর দইটি solution থাকে। (কিন্তু ব্যতিক্রম ছাড়া)
• Negative সংখ্যার square root নিলে কাল্পনিক সংখ্যা পাওয়া যায়।
• ODD exponents হলে ১টি মাত্র solution থাকে।
Equation Inequality
One-variable equation হলো যেসব সমীকরণের মধ্যে একটি মাত্র variable থাকে। এখন এই equation টি solve করুন:
[latex]w = 17w[latex] – [latex]1[latex]
দুই বা তার বেশি variable থাকলে অনেক সময় substitution পদ্ধতিতে খুব সহজে solve করা যায়। substitution শব্দটির অর্থ হলো প্রতিস্থাপন করা বা একটির পরিবর্তে অন্যটিকে বসানো। নীচের উদাহরণগুলো দেখা যাক:
Solve the following for [latex]x[latex] and [latex]y[latex]. [latex]x + y=9[latex] ... [latex](i)[latex] [latex]2x= 5y+ 4[latex] ... [latex](ii)[latex]
First: Solve the first equation for [latex]x[latex]. At this point, you will not get a number, of course.
[latex]x + y = 9[latex]
So, [latex]x = 9[latex] – [latex]y[latex]
Second: Substitute this expression involving [latex]y[latex] into the second equation wherever [latex]x[latex] appears.
[latex]2x = 5y+4[latex]
[latex]2(9[latex] – [latex]y) = 5y + 4[latex]
Third: Solve the second equation for [latex]y[latex]. You will now get a number for [latex]y[latex].
[latex]2(9 – y) = 5y + 4[latex]
[latex]18 – 2y= 5y+4[latex]
[latex]14 = 7y[latex]
So, [latex]2 = y[latex]
Fourth: Substitute your solution for [latex]y[latex] into the first equation in order to solve for [latex]x[latex].
[latex]x + y = 9[latex]
[latex]x + 2 = 9[latex]
[latex]x = 7[latex]
Substitution সব সময় যে একটি মাত্র variable দিয়ে করেই equation এর solution বের করা যায় তা কিন্তু নয়। অনেক সময় প্রশ্নের মধ্যে এমন একটি equation দেওয়া থাকে যা আসলে সরাসরি অথবা সামান্য নাড়াচাড়া করে আরেকটি equation এর মধ্যে বসিয়ে দিয়ে solve করা যায়। নীচের উদাহরণটি দেখা যাক:
Find the value of [latex]x[latex]:
[latex]\frac { 3x }{ 3y+5z } =8[latex] … [latex](i)[latex]
[latex]6y + 10z = 18[latex] … [latex](ii)[latex]
এখন দ্বিতীয় equation কে সরাসরি [latex]2[latex] দিয়ে ভাগ করে লেখা যায় [latex]3y+5z=9[latex], যা কিনা প্রথম equation এর বাম পাশে denominator (=হর)।
Therefore we get [latex]3x[latex]/[latex]9[latex]=[latex]8[latex]
or, [latex]x[latex]/[latex]3[latex]=[latex]8[latex]
or, [latex]x = 24[latex] (Ans.)
Quiz:
Can you find the value of [latex]x[latex] here, from the given two statements?
[latex]y ={ x }^{ 3 }[latex] – [latex]1[latex] … [latex](1)[latex] [latex]y = x[latex] – [latex]1[latex] … [latex](2)[latex]
Please note that, since the power on [latex]x[latex] is [latex]3[latex], there are [latex]3[latex] possible values of [latex]x[latex].
COMBO problems
অনেক সময় আমাদের দুইটি equation দিয়ে দুইটি ভিন্ন variable এর যোগফল বা গুণফল ইত্যাদির মান জানতে চাওয়া হয়। এ স্খেত্রে আলাদা আলাদা ভাবে দুইটি variable এর মান বের করার পরে তাদের যোগ বা গুণ করে উত্তর বের করতে যাবার দরকার নেই। কিছু কৌশল অবলম্বন করে সরাসরি প্রশ্নের মধ্যে জানতে চাওয়া অংশের উত্তর বের করা যায়। এক্ষেত্রে MADS নিয়মটি মনে রাখতে হবে।
M: Multiply or divide the whole equation by a certain number.
A: Add or subtract a number on both sides of the equation.
D: Distribute or factor an expression on ONE side of the equation.
S: Square or unsquare both sides of the equation.
এখানে কয়েকটি উদারণ দেওয়া হলো।
Example 1: If [latex]x=\frac { 7-y }{ 2 }[latex], then find the value of [latex]2x + y[latex].
Clue: Equation simplify করে পক্ষান্তর করলেই 2x + y এর মান পাওয়া যাবে।
Example 2: If [latex]\sqrt { 2t+r=5 }[latex] , then find the value of [latex]3r + 6t[latex].
Clue: প্রদত্ত Equation square করুন|
Example 3: If, [latex]a(4[latex] – [latex]c) = 2ac + 4a + 9[latex] then find the value of [latex]ac[latex].
Clue: প্রদত্ত Equation simplify করুন|
Equation এর মধ্যে Absolute value ’র ব্যবহার
Absolute value refers to the POSITIVE value of the expression within the absolute value brackets. Equations that involve absolute value generally have TWO SOLUTIONS. In other words, there are TWO numbers that the variable could equal in order to make the equation true. The reason is that the value of the expression inside the absolute value brackets could be POSITIVE OR NEGATIVE. For instance, if we know |[latex]x[latex]| = [latex]5[latex], then [latex]x[latex] could be either [latex]5[latex] or -[latex]5[latex], and the equation would still be true.
The following three-step method should be used when solving for a variable expression inside absolute value brackets. Consider this example:
Solve for [latex]w[latex], given that [latex]12 +[latex] |[latex]w[latex] – [latex]4[latex]| = [latex]30[latex].
আমরা প্রথমে |[latex]w[latex] – [latex]4[latex]| এর মান বের করবো। absolute value থাকার কারণে আমরা উক্ত মানের দুইটি চিহ্নই বিবেচনায় আনবো। তো, শুরু করা যাক!
Step 1: Isolate the expression within the absolute value brackets.
[latex]12 +[latex] |[latex]w[latex] – [latex]4[latex]| [latex]= 30[latex]
so, |[latex]w[latex] – [latex]4[latex]| [latex]=18[latex]
Step 2. যদি |[latex]x[latex]| = [latex]a[latex] with [latex]a[latex] > [latex]0[latex] ধরণের কোন সমীকরণ থাকে, তাহলে আমরা বুঝি যে = ± [latex]a[latex].
Now, remove the absolute value brackets and solve the equation for [latex]2[latex] different cases:
Step 3: (সত্যতা যাচাই ধাপ) Check to see whether each solution is valid by putting each one back into the original equation and verifying that the two sides of the equation are in fact equal.
In case 1, the solution, [latex]w = 22[latex], is valid because
[latex]12 +[latex] |[latex]22[latex] – [latex]4[latex]| [latex]= 12 + 18 = 30[latex].
In case 2, the solution, [latex]w =[latex] -[latex]14[latex], is valid because
[latex]12 +[latex] |-[latex]14[latex] – [latex]4[latex]| [latex]= 12 + 18 = 30[latex].
সত্যতা যাচাই ধাপটি গুরুত্বপূর্ণ, কারণ অনেক ক্ষেত্রেই #ভেরিয়েবল এর একটা ভুল মান উত্তর হিসাবে চলে আসতে পারে। নীচের উদাহরণটা দেখুন।
Solve for [latex]n[latex], given that |[latex]n + 9[latex]| – [latex]3n = 3[latex].
উপরে দেখানো নিয়ম অনুসারে আমরা [latex]n[latex] এর মান পাই [latex]3[latex] এবং -[latex]3[latex]।
In case 3,The first solution, [latex]n = 3[latex], is valid because
|[latex](3) + 9[latex]| – [latex]3(3) = 12[latex] – [latex]9 = 3[latex], যা সমীকরণে প্রদত্ত ডান পাশের মানের (৩) সমান।
However, the second solution, [latex]n =[latex] -[latex]3[latex], is NOT valid, since
|(-[latex]3)+ 9[latex]| – [latex]3[latex](-[latex]3) = 6 + 9 = 15[latex], যা সমীকরণে প্রদত্ত ডান পাশের মানের (৩) সমান নয়।
সতর্কতা: absolute value equation সমাধান করতে গিয়ে ভুল উত্তর চলে আসতে পারে, যাকে “যাচাই ধাপ” এর মাধ্যমে বাদ দিতে হয়।
EQUATIONS WITH EXPONENTS STRATEGY
Exponent Equations
Most examinations tests more than your knowledge of basic equations. শুধু তাই না, মাঝে মাঝে equation-গুলোকে সূচক বা exponent বা power ব্যবহার করে আরো complicated করে ফেলা হয়।
Equations with exponents take various forms. Here are some examples:
- [latex]{ x }^{ 3 }=[latex]-[latex]125[latex]
- [latex]{ y }^{ 2 }+3=x[latex]
- [latex]\sqrt { x } +15=21[latex] ইত্যাদি।
There are two keys to achieving success with equations that include:
1) Know the RULES for exponents and roots. You should review the rules for combining exponential expressions.
2) Remember that EVEN EXPONENTS are DANGEROUS because they hide the sign of the base. In general, equations with even exponents have [latex]2[latex] solutions.
Exponent বা সূচক যদি জোড় সংখ্যা হয় তবে সে Equation এর দুইটি Solutions থাকে
Even exponents দের বিপদজন বলার কারণ হলো, এরা base এর sign টাকে লুকিয়ে রাখে. As a result, equations involving variables with even exponents can have both a positive and a negative solution. This should remind you of absolute values. Compare these two equations:
[latex]{ x }^{ 2 }= 25[latex]
|[latex]x[latex]| = [latex]5[latex]
উভয় ক্ষেত্রেই [latex]x=[latex]±[latex]5[latex]. The equations share the same two solutions. In fact, there is an important relationship: for any
[latex]\sqrt { { x }^{ 2 } } =\left| x \right|[latex]
মনে রাখতে হবে, জোড় পাওয়ার বিশিষ্ট সব equation এরই কিন্তু দুইটি solution হয় না। উদাহরণ হিসাবেঃ
[latex]+ 3 = 3[latex]; from where we get [latex]{ x }^{ 3 } = 0[latex]; so, [latex]x = 0[latex] (the only solution)
Negative সংখ্যার Square root নিলে কাল্পনিক বা অবাস্তব সংখ্যা (Imaginary Number, [latex]i[latex]) পাওয়া যায়।
Try to solve [latex]{ x }^{ 2 }+ 9 = 0[latex].
Then you get [latex]x[latex]=√(-[latex]9[latex])
This equation does not have any solutions. বিপরীতক্রমে, মনে রাখবেন: Squaring can never produce a negative number!
Odd Exponents হলে মাত্র ১-টি Solution হবে.
Equations that involve only odd exponents or cube roots have only [latex]1[latex] solution. একটা সমীকরণ দেখুন:
[latex]{ x }^{ 3 }[latex]= – [latex]125[latex]. Here, [latex]x[latex] has only [latex]1[latex]
solution: -[latex]5[latex]. You can see that (-[latex]5[latex])(-[latex]5[latex])(-[latex]5[latex]) = -[latex]125[latex]. This will not work with positive [latex]5[latex]
Same Base or Same Exponent
In problems that involve exponential expressions on BOTH sides of the equation, it is imperative to REWRITE the bases so that either the same base or the same exponent appears on both sides of the exponential equation. এভাবে আপনি সহজেই হয় bases বা exponents কে বাদ দিয়ে বাকী অংশটিকে একটি equation আকারে লিখতে পারবেন।
একটি উদাহরণ দেখা যাক। দেওয়া আছেঃ
[latex]{ \left( { 4 }^{ w } \right) }^{ 3 }={ 32 }^{ w-1 }[latex]। আমাদের [latex]w[latex] এর মান বের করতে হবে।
আমরা জানি, [latex]4[latex] কে [latex]22[latex] হিসাবে এবং [latex]32[latex] কে [latex]25[latex] হিসাবে লেখা যায়। কাজেই আমরা পাই
[latex]{ \left( { \left( { 2 }^{ 2 } \right) w } \right) }^{ 3 }={ \left( { 2 }^{ 5 } \right) }^{ w }[latex]
or, [latex]{ 2 }^{ 6w }={ 2 }^{ 5(w-1) }[latex]
এবার উভয় পক্ষের বেজ (base) বা ভিত্তি সমান বলে পাওয়ার বা শক্তিও (exponent) সমান হবে। কাজেই [latex]6w = 5w[latex] – [latex]5[latex] এর জন্যে সমাধান করে উত্তর বের করে ফেলুন।
বিশেষ সতর্কতা: যদি base বা ভিত্তি [latex]0, 1[latex] বা – [latex]1[latex] হয় তাহলে বিশেষ সাবধানতা অবলম্বন করতে হবে। কেননা, exponent or power এদের ভিন্ন ভিন্ন হলেও মান সব সময় ভিন্ন নাও হতে পারে।
যেমন, [latex]0[latex] এর power যাই হোক না কেন (শূন্য বাদে) সামগ্রিক রাশিটিরvalue or মান শূন্যই থাকে। অর্থাৎ [latex]{ 0 }^{ n }= 0[latex], where [latex]n\neq 0[latex]
একইভাবে, [latex]{ -1 }^{ 3 } ={ -1 }^{ 5 }[latex] বলে আমরা কখনোই [latex]3=5[latex] সিদ্ধান্তে আসতে পারি না।
Roots দূর করতে হলে: Both Sides কে Square করতে হবে।
The most effective way to solve problems that involve variables underneath radical symbols (variable square roots) is to square both sides of the equation.
Solve the following equation for [latex]s[latex] : [latex]\sqrt { s-12=7 }[latex]
প্রথমে আমরা উভয় পক্ষকে square করে পাই [latex]s[latex]-[latex]12=7[latex] or, [latex]s=49+12[latex], or, [latex]s=61[latex] (ans)
কুইজ:
[latex]b[latex] এর মান বের করুন নীচের সম্পর্ক থেকে। [latex]\sqrt { 3b-8 }[latex] = [latex]\sqrt { 12-b }[latex]
মান যাচাই ধাপ: After you have solved for the variable, check that the solution works in the original equation. মনে রাখবেন, “Squaring both sides can introduce an extraneous solution”.
কুইজ :
Solve the following equation for [latex]x[latex]: √[latex]x=x-2[latex]
প্রথমে square করার মাধ্যমে সমাধান শুরু করুন এবং শেষে গিয়ে [latex]x[latex] এর দুইটি মান পাবেনঃ [latex]4[latex] ও [latex]1[latex]। এদের একটি মান false, একটি true।
Equations With Exponents Strategy
For equations that involve cube roots, solve by cubing both sides of the equation:
Solve the following equation for [latex]y[latex]: [latex]-3=\sqrt [ 3 ]{ y-8}[latex]
উভয় পক্ষকে “টু দি পাওয়ার থ্রি” বা “কিউবিং” (cubing) করে শুরু করুন। তাহলে শেষতক পাওয়া যাবে -[latex]19 = y[latex]।
লক্ষ করুন, √[latex]p[latex] কে [latex]{ p }^{ \frac { 1 }{ 2 } }[latex] হিসাবে লেখা যায়। একই ভাবে [latex]\sqrt [ 3 ]{ p }[latex] কে [latex]{ p }^{ \frac { 1 }{ 3 } }[latex] হিসাবে, এবং [latex]\sqrt [ n ]{ p }[latex] কে [latex]{ p }^{ \frac { 1 }{ n } }[latex] হিসাবে লেখা যায়। কাজেই পরীক্ষায় এসব চিহ্ন দেখে ঘাবড়াবেন না। আর [latex]\sqrt [ n ]{ p }[latex] চিহ্নটিকে পড়া হয় [latex]n[latex]th root of [latex]p[latex] (বাংলায়, [latex]p[latex] এর [latex]n[latex] তম রুট) হিসাবে, এবং [latex]{ p }^{ n }[latex] চিহ্নটিকে পড়া হয় [latex]n[latex]th power of [latex]p[latex] (বাংলায়, [latex]p[latex] এর [latex]n[latex] তম শক্তি বা পাওয়ার) হিসাবে পড়া হয়।
Remember that cubing a number preserves the sign, so no extraneous solution can be introduced when you cube an equation.
