[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (2) Algebra বিভাগের অধীনে 〈3〉Quadratic Equations চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈2.3.a〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]
〈2.3.a〉দ্বিঘাত সমীকরণ এবং তা সমাধানের বিভিন্ন উপায়
এক নজরে এই অধ্যায়ের সূত্রসমূহ:
[latex]a{ x }^{ 2 }+bx+c=0[latex] আকারের সমীকরনকে দ্বিখাত সমীকরণ বলে। solution of this equation is:
[latex]\frac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a }[latex]
QUADRATIC EQUATIONS বা দ্বিঘাত সমীকরণ
One special type of even exponent equation is called the quadratic equation (বাংলায়, দ্বিঘাত সমীকরণ). বিভিন্ন পরীক্ষার জন্যে দ্বিঘাত সমীকরণ বেশ গুরুত্বপূর্ণ। Here are some examples of quadratic equations:
[latex]{ x }^{ 2 }+3x+8=12[latex]
[latex]{ w }^{ 2 }-16x+1=0[latex] ইত্যাদি।
Quadratic equations are equations with one unknown and two defining components:
(1) a variable term raised to the second power [latex](a{ n }^{ 2 })[latex]
(2) a variable term raised to the first power [latex](b{ n }^{ 1 })[latex]
Quadratic equations generally have 2 solutions. That is, there are usually two possible values of [latex]x[latex] (or অন্য যে variable সমীকরণটির মধ্যে উলেখ থাকে) that make the equation.
Factoring Quadratic Equations
The following example illustrates the process for solving quadratic equations:
Given that [latex]{ x }^{ 2 }+3x+8=12[latex]. What is [latex]x[latex]?
| ধাপ | বিবরণ |
|---|---|
| [latex]{ x }^{ 2 }+3x+8=12[latex] | মূল সমীকরণ |
| [latex]{ x }^{ 2 }+3x-4=0[latex] | সবকিছু বাম পাশে নিয়ে ডানে শুধু শূন্য (০) রাখা হলো। এখন সমীকরণটির আকার [latex]a{ x }^{ 2 }+bx+c=0[latex] এর মতো, where [latex]a=1, b=3[latex] and [latex]c=-4[latex]. |
| [latex]{ x }^{ 2 }+4x-x-4=0[latex] | Middle Term Multiplication |
| [latex]x(x+4)-1(x+4)=0[latex] | |
| [latex](x+4)(x-1)=0[latex] | দুইটি রাশির গুণফল হিসাবে প্রকাশিত হলো |
| If [latex]x+4=0[latex], then [latex]x=-4[latex] (Solved) If [latex]x-1=0[latex], then [latex]x=1[latex] (Solved) | দুইটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তাদের যে কোনটি শূন্য হতে হবে। এখান থেকে আমরা [latex]x[latex] এর মান বের করতে পারি। |
Single formula to solve quadratics:
যদি কোন দ্বিঘাত সমীকরণ বা quadratics কে আমরা এভাবে প্রকাশ করতে পারি [latex]a{ x }^{ 2 }+bx+c=0[latex]
তবে [latex]x[latex] এর মান দুইটি হবে এরকমঃ
[latex]\frac { -b+ \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a }[latex] বা, [latex]\frac { -b- \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a }[latex]
লক্ষ রাখতে হবে যে, [latex]a[latex] হলো [latex]{ x }^{ 2 }[latex] এর সাথে যুক্ত সংখ্যা; [latex]b[latex] হলো [latex]x[latex] এর সাথে যুক্ত সংখ্যা; [latex]c[latex] হলো [latex]x[latex] যুক্ত নেই এমন অবশিষ্ট সংখ্যা।
কুইজঃ উপরে যে সমীকরণটি দেওয়া হয়েছিল ([latex]{ x }^{ 2 }+3x-4=0[latex]) তা এই সূত্র ব্যবহার করে সলভ করুন।
সতর্কতাঃ এখানে [latex]c[latex] কিন্তু নেগেটিভ যুক্ত [latex]4[latex] হবে।
Disguised Quadratics বা ছদ্মবেশধারী দ্বিঘাত সমীকরণ
ছদ্মবেশধারী কথাটি বলা হচ্ছে এ কারণে যে, কিছু কিছু দ্বিঘাত সমীকরণ বা quadratics আছে যাদেরকে দেখে চট করে মনে হয় না যে তারা দ্বিঘাত সমীকরণ। এরা প্রচলিত [latex]a{ x }^{ 2 }+bx+c=0[latex] আকারের হয় না। যেমন, নীচের উদাহরণটা দেখা যাকঃ
[latex]3{ w }^{ 2 }=6w[latex]
উপরের সমীকরণটি দেখে আপনি হয়ত এটাকে [latex]3[latex] দিয়ে ভাগ করে সহজ করে লিখবেন [latex]{ w }^{ 2 }=2w[latex] এভাবে; তারপর উভয় পক্ষকে [latex]w[latex] দিয়ে ভাগ করে পাবেন [latex]w=2[latex]। কিন্তু উভয় পক্ষকে [latex]w[latex] দিয়ে ভাগ করার সময়ই একটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত লংঘন করা হয়েছে। শর্ত হলো, শূন্য দিয়ে কোন রাশিকে ভাগ করা যাবে না। অর্থাৎ [latex]w[latex] এর মান অশূন্য ধরে নিয়ে আমরা এই ভাগ করার কাজটি করেছি। কিন্তু [latex]w[latex] এর মান তো শূন্যও হতে পারে! কাজেই, [latex]{ w }^{ 2 }=2w[latex] ধাপ থেকে আমাদের এভাবে অগ্রসর হতে হবেঃ
[latex]{ w }^{ 2 }=2w[latex]
[latex]{ w }^{ 2 }-2w=0[latex]
[latex]w(w-2)=0[latex]
Now, if [latex]w = 0[latex] then we get the value of it. or if ([latex]w-2[latex])=[latex]0[latex] then we get the value of [latex]w[latex] as [latex]2[latex]. So, the values of [latex]w[latex] are [latex]0[latex] and [latex]2[latex].
কুইজঃ disguised quadratic – এর আরেকটি উদাহরণ নীচে দেওয়া হলো,
[latex]36/b=b-5[latex] the value of [latex]b[latex] সমাধান করুন।
More complicated problems
Some quadratics are hidden within more difficult equations, such as higher order equations (in which a variable is raised to the power of [latex]3[latex] or more). On the IBA or GRE/GMAT tests, these equations can almost always be factored to find the hidden quadratic expression. For example:
Solve for [latex]x[latex], given that [latex]{ x }^{ 3 }+2{ x }^{ 2 }=3x-0[latex]
| ধাপ | বিবরণ |
|---|---|
| [latex]{ x }^{ 3 }+{ 2x }^{ 2 }-3x=0[latex] | মূল সমীকরণ |
| [latex]x({ x }^{ 2 }+2x-3)=0[latex] | [latex]x[latex] কমন নেওয়া হলো |
| [latex]x({ x }^{ 2 }+3x-x-3)=0[latex] | Middle Term Multiplication |
| [latex]x\{ x(x+3)-1(x+1)\} =0[latex] | |
| [latex]x(x+3)(x+1)=0[latex] | তিনটি রাশির গুণফল হিসাবে প্রকাশিত হলো |
| [latex]x=0[latex] [1st solution] OR, [latex]x+3=0[latex], so [latex]x=-3[latex] [2nd solution] OR, [latex]x-1=0[latex], so [latex]x=1[latex] [3rd solution] | তিনটি রাশির গুণফল শূন্য হলে তাদের যে কোনটি শূন্য হতে হবে। এখান থেকে আমরা [latex]x[latex] এর মান বের করতে পারি। |
সতর্কতাঃ Don’t just divide both sides by [latex]x[latex], This division improperly eliminates the solution [latex]x=0[latex]. You are only allowed to divide by a variable (or ANY expression) if you are absolutely sure that the variable or expression does not equal zero. এ ব্যপারে উপরে বলা হয়েছে।
কুইজঃ
এমন কোন quadratic equation কি সম্ভব যেখানে [latex]x[latex] এর মান দুইটি নয়, বরং মাত্র একটি হয়?
[latex]{ x }^{ 2 }+8x+16=0[latex]
উপরের equation টি লক্ষ করুন। এটাকে সরাসরি [latex]{ a }^{ 2 }+2ab+{ b }^{ 2 }[latex] সূত্রে ফেলে দেওয়া যায়। ফলে আপনি পাবেনঃ
[latex]{ x }^{ 2 }+2*x*4+{ 4 }^{ 2 }=0[latex]
or, [latex]{ (x+4) }^{ 2 }=0[latex]
or, [latex]x=-4[latex]
কাজেই, এরকম সূত্রে ফেলে দিয়ে সমাধান করলে [latex]x[latex] এর একটি মাত্র সমাধান পাওয়া যাবে।
বিশেষ সতর্কতাঃ এমন কোন মান গ্রহণ করা যাবে না যার ফলে মূল সমীকরণের কোন একটি অংশের denominator (হর) শূন্য হয়ে যায়
Math convention does not allow division by [latex]0[latex]. When [latex]0[latex] appears in the denominator of an expression, then that expression is undefined. How does this convention affect quadratic equations? Consider the following:
What are the solutions to the following equation? [latex]\frac { { x }^{ 2 }+x-12 }{ x-2 }=0[latex]
এখানে [latex]x[latex] এর মান আর যাই হোক [latex]2[latex] সম্ভব নয়, কারণ সেক্ষেত্রে বাম পাশের denominator শূন্য হয়ে যায় এবং সম্পূর্ণ রাশিটি অসংজ্ঞায়িত হয়ে যায়।
The Three Special Products
| Special Product #1 | [latex]{ x }^{ 2 }-{ y }^{ 2 }=(x+y)(x-y)[latex] |
| Special Product #2 | [latex]{ (x+y) }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+2xy+{ y }^{ 2 }[latex] |
| Special Product #3 | [latex]{ (x-y) }^{ 2 }={ x }^{ 2 }-2xy+{ y }^{ 2 }[latex] |
অনেক সময় ছদ্মবেশধারী সূত্র (disguised form) থাকতে পারে, যাদের দেখে প্রথমে বোঝা যায় না যে এটা সরাসরি একটা সূত্রে পড়ে, কিন্তু ভালো করে খেয়াল করলে বিষয়টা বোঝা যায়। ১ সংখ্যাটি ব্যবহার করে এ ধরণের তৈরী করা হতে পারে।
For example, [latex]{ a }^{ 2 }-1[latex] can be factored as [latex](a+1)(a-1)[latex]. কারণ, [latex]1[latex] কে লেখা যায় [latex]{ 1 }^{ 2 }[latex] হিসাবে।
কুইজঃ
Simplify [latex]\frac { { x }^{ 2 }+4x+4 }{ { x }^{ 2 }-2 }[latex], where x does not equal to [latex]2[latex] or [latex]-2[latex].
উপরের রাশিটির numerator and denominator দের factorize করে লেখা যায় :
[latex]\frac { { \left( x+2 \right) }^{ 2 } }{ (x+2)(x-2) }=(x+2)/(x-2)[latex] (ans)
