[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (2) Algebra বিভাগের অধীনে 〈4〉Functions চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈2.4.a〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]
〈2.4.a〉ফাংশন এবং এর সাথে সম্পর্কিত বিভিন্ন বিষয়াদি
FUNCTIONS বিষয়ক সমস্যাগুলো অনেকটা ইতিপূর্বে আলোচনা করা sequence problem -র মতোই। এদেরকে সাধারণতঃ ইংরেজি অক্ষর [latex]f()[latex] বা [latex]g()[latex] অথবা অন্য কোন অক্ষরের পাশে একটি ব্রাকেটের মধ্যে variable [latex]x[latex] কে বসিয়ে এবং তার ডান পাশে [latex]x[latex] যুক্ত একটি রাশি লিখে প্রকাশ করা হয়। উদাহরণ স্বরূপঃ
[latex]f(x)=2x+3[latex]
এখানে [latex]x[latex] এর মান [latex]0,1,2[latex] ইত্যাদি বসালে তার মান যথাক্রমে [latex]3,5,7[latex] এভাবে আসবে। আরেকটি ফাংশন দেখা যাকঃ
[latex]g(t)={ t }^{ 3 }+\sqrt { t } -\frac { 2t }{ 5 }[latex]
সতর্কতাঃ [latex]f(x)[latex] চিহ্নটিকে পড়া হয় “এফ অব এক্স” এভাবে। ব্রাকেট থাকলেও এখানে গুণের কোন সম্পর্ক নেই। অর্থাৎ [latex]f[latex] এবং [latex]x[latex] এর মধ্যে গুণ সম্পর্ক আছে ভাবার কোন সুযোগই নেই।
Domain and Range
The “domain” of a function indicates the possible inputs. The “range” of a function indicates the possible outputs. For instance, the function [latex]f(x)={ x }^{ 2 }[latex] can take any input but never produces a negative number. সুতরাং এই ফাংশনটির জন্যে আমরা বলতে পারি, the domain is “all numbers”, but the range is [latex]f(x)[latex]≥[latex]0[latex] বা অঋণাত্মক সংখ্যা।
Numerical Substitution
This is the most basic type of function problem. Input the numerical value (say, [latex]5[latex]) in place of the independent variable [latex](x)[latex] to determine the value of the function.
If [latex]f(x)={ x }^{ 2 }-2[latex], what is the value of [latex]f(5)[latex] ?
In this problem, you are given a rule for [latex]f(x)[latex]: square [latex]x[latex] and subtract [latex]2[latex]. Then, you are asked to apply this rule to the number [latex]5[latex]. Square [latex]5[latex] and subtract [latex]2[latex] from the result:
[latex]f(5)={ 5 }^{ 2 }-2=25-2=23[latex] (Ans.)
বিভিন্ন পরীক্ষায় এ ধরণের সহজ সমস্যাগুলো কম আসতে দেখা যায়। বরং একটু কঠিন ধাচের “variable substitution” সমস্যাই বেশি আসে।
Variable Substitution
This type of problem is slightly more complicated. Instead of finding the output value for a numerical input, you must find the output when the input is an algebraic expression.
If [latex]\int(z)={ z }^{ 2 }+\sqrt { t } -\frac { x }{ 3 }[latex] then what is the value of [latex]f(w+6)[latex]?
Input the variable expression [latex](w+6)[latex] in place of the independent variable [latex](z)[latex] to determine the value of the function:
[latex]\int(w+6)={ w+6 }^{ 2 }-\frac { w+6 }{ 3 }[latex] এবং এর পর এটাকে সরল করুন।
Compound Functions
এসব ক্ষেত্রে দুইটি ভিন্ন ফাংশনকে একত্রে বসিয়ে আরেকটি ফাংশনের মান জানতে চাওয়া হয়। উদাহরণটি দেখা যাকঃ
[latex]\int(x)={ x }^{ 3 }+\sqrt { x }-f[latex] and [latex]g(x)=4x-3[latex]. Then find the value of [latex]f(g(3))[latex].
জেনে রাখুন, [latex]f(g(3))[latex] কে উচ্চারণ করা হয় “এফ অব জি অব থ্রি” এভাবে।
টিপসঃ এ ধরণের ফাংশনের অংকের উত্তর বের করার ক্ষেত্রে শুরু করতে হবে ভেতরের দিক থেকে এবং পর্যায়ক্রমে বাইরের দিকে যেতে হবে। অর্থাৎ, আমরা প্রথমে [latex]g(3)[latex] বের করবো এবং প্রাপ্ত মান যা হবে তাকে [latex]f[latex] ফাংশনের মধ্যে দিয়ে পাস (pass) করাবো।
[latex]g(3)=4(3)-3=12-3=9[latex]
Use the result from the inner function g as the new input variable for the outer function f:
[latex]f(g(3))=f(9)=(9)3[latex]+√[latex]9=729+3=732[latex] (Final Ans.)
বিশেষ সতর্কতাঃ [latex]g(f(3))[latex] এবং [latex]f(g(3))[latex] কিন্তু সম্পূর্ণ ভিন্ন বিষয়। এদের মানও আলাদা হতে পারে।
ফাংশন থেকে আসা জটিল ধরণের অংক
You may be asked to find a value of [latex]x[latex] for which [latex]f(g(x))=g(f(x))[latex]. In that case, use variable substitution, working as always from the inside out.
If [latex]f(x)={ x }^{ 3 }+1[latex], and [latex]g(x)=2x[latex], for what value of [latex]x[latex] does [latex]f(g(x))=g(f(x))[latex]?
সমাধানঃ Simply evaluate as we did in the problems above, using [latex]x[latex] instead of an input value:
শর্তমতে [latex]f(g(x))=g(f(x))[latex] কাজেই [latex]f(2x)= g({ x }^{ 3 }+1)[latex]
[আমরা [latex]f(x)[latex] ও [latex]g(x)[latex] এর মান বসালাম]
Or, [latex]{ 2x }^{ 3 }+1=2({ x }^{ 3 }+1)[latex]
Or, [latex]8{ x }^{ 3 }+1=2{ x }^{ 3 }+2[latex]
Or, [latex]6{ x }^{ 3 }=1[latex]
So, [latex]\sqrt [ 3 ]{ \frac { 1 }{ 6 } }[latex] (ans)
Functions with Unknown Constants
ফাংশনের অঙ্কগুলোকে একটু ঘুরিয়ে দেওয়া হতে পারে এর মধ্যে অজানা কোন constant ব্যবহার করে। এ ধরণের অংক আইবিএ তে অতটা গুরুত্বপূর্ণ না হলেও আরেকটু কঠিন ধরণের পরীক্ষায় (যেমন জিআরই, জিম্যাট ইত্যাদি) আসতে পারে। তার পরেও, ভালো প্রস্তুতির স্বার্থে আমাদের এসব অঙ্ক কিভাবে সমাধান করতে হয় তা জানা থাকা চাই। একটা উদাহরণ দেখুনঃ
If [latex]f(x)=a{ x }^{ 2 }-x[latex], and [latex]f(4)=28[latex], what is [latex]f(-2)[latex]?
Solve these problems in three steps. (1) অজানা constant এর মান বের করুন, (২) ওই constant ব্যবহার করে ফাংশনটিকে সম্পূর্ণ করে লিখুন, (৩) ফাংশনের মধ্যে নতুন value পাস (pass) করে তার মান বের করুন।
FIRST, use the value of the input variable and the corresponding output value of the function to solve for the unknown constant:
[latex]f(4)=a{ 4 }^{ 2 }-4=28[latex]
[latex]16a-4=28[latex]
[latex]16a=32[latex]
[latex]a=2[latex]
THEN, rewrite the function, replacing the constant with its numerical value:
[latex]f(x)=a{ x }^{ 2 }-x=2{ x }^{ 2 }-x[latex]
FINALLY, solve the function for the new input variable:
[latex]f(-2)=2(-2)2-(-2)=8+2=10[latex] (Final Ans.)
Direct Proportionality
It means that the two quantities always change by the same factor and in the same direction. উদাহরণ হিসাবে, ইনপুটকে তিনগুণ বাড়িয়ে দিলে, আউটপুটও তিনগুণ বেড়ে যাবে। আবার, যদি ইনপুটকে অর্ধেক করে ফেলা হয় তাহলে আউটপুটও অর্ধেক হয়ে যাবে। এসব ক্ষেত্রে এ ধরণের সমীকরণ ব্যবহৃত হয়ঃ
[latex]y=kx[latex]; which actually comes from [latex]y[latex]∝[latex]x[latex]
এখানে [latex]k[latex] কে বলা হয় proportionality constant বা সমানুপাতিক ধ্রুবক।
উদাহরণ স্বরূপঃ সূর্য স্থির থাকা অবস্থায় ৩ তলা দালানের উচ্চতা ও ছায়ার দৈর্ঘ্যের অনুপাত, আরেকটি ৫ তলা দালানের উচ্চতা ও তার দৈর্ঘ্যরে অনুপাতের সমান থাকবে।
Typically with direct proportion problems, you will be given “before” and “after” values. Simply set up ratios to solve the problem-for example, [latex]\frac { { y }_{ 1 } }{ { x }_{ 1 } }[latex] can be used for the “before” values and [latex]\frac { { y }_{ 2 } }{ { x }_{ 2 } }[latex] can be used for the “after” values. We then write [latex]\frac { { y }_{ 1 } }{ { x }_{ 1 } }=\frac { { y }_{ 2 } }{ { x }_{ 2 } }[latex] , since both ratios are equal to the same constant [latex]k[latex]. Finally, we solve for the unknowns.
Inverse Proportionality
Inverse proportionality means that the two quantities change by RECIPROCAL factors. Cutting the input in half will actually double the output. Tripling the input will cut the output to one-third of its original value. উদাহরণ স্বরূপ, কর্মী সংখ্যা যত বেশি হবে, একটি প্রজেক্ট শেষ করতে প্রয়োজনীয় সময় তত কম লাগবে।
Inverse proportionality relationships are of the form [latex]Y=k/x[latex], where [latex]x[latex] is the input value and [latex]Y[latex] is the output value. [latex]k[latex] is called the proportionality constant. This equation can also be written as [latex]xy=k[latex], which means that the product of the output and input values is always constant.
একটি অঙ্ক করা যাক। প্রথমে দেখে মনে হতে পারে যে এটা পদার্থ বিজ্ঞানের অঙ্ক, কিন্তু বিভিন্ন পরীক্ষায় এ ধরণের অংক আসতে পারে।
The amount of electrical current that flows through a wire is inversely proportional to the resistance in that wire. If a wire currently carries [latex]4[latex] amperes of electrical current, but the resistance is then cut to one-third of its original value, how many amperes of electrical current will flow through the wire?
While we are not given precise amounts for the “before” or “after” resistance in the wire, we can pick numbers. Using [latex]3[latex] as the original resistance and [latex]1[latex] as the new resistance, we can see that the new electrical current will be 12 amperes:
[latex]C1R1=C2R2[latex]
So, [latex]4(3)=C2(1)[latex]
[latex]C2=12[latex]
Linear Growth
বিভিন্ন পরীক্ষায় আসা অনেক অঙ্ক, বিশেষ করে word problems-এ এ ধরণের অঙ্ক আসতে দেখা যায়, যেখানে linear growth বা decay বিষয়ক সম্পর্ক দিয়ে কিছু একটা বের করতে বলা হয়। Such quantities are determined by the linear function: [latex]Y=mx+b[latex]. In this equation, the slope m is the constant rate at which the quantity grows. The y-intercept [latex]b[latex] is the value of the quantity at time zero, and the variable (in this case, [latex]x[latex]) stands for time. You can also use t to represent time.
If a baby weighs [latex]9[latex] pounds at birth and gains [latex]1.2[latex] pounds per month, then the baby’s weight can be written as [latex]W=9+1.2t[latex], where [latex]t[latex] is the baby’s age in months. Note that [latex]t=0[latex] represents the birth of the baby.
