[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (6) Counting and Probability বিভাগের অধীনে 〈1〉Permutation and Combination চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈6.1.a〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]
〈6.1.a〉বিন্যাস ও সমাবেশ
Counting problems এর একটি মৌলিক বিষয় হলোঃ
একটি ঘটনা [latex]n[latex] উপায়ে করার পরে দ্বিতীয় আরেকটি ঘটনা যদি [latex]m[latex] উপায়ে করা যায়, তাহলে দুইটি ঘটনা একসাথে [latex]mn[latex] উপায়ে ঘটানো যায়।
কিছু উদাহরণ দেখুনঃ
ঢাকা থেকে ফরিদপুর ৩ ভাবে যাওয়া যায়, এবং ফরিদপুর থেকে খুলনা ৪ ভাবে যাওয়া যায়। তাহলে ঢাকা থেকে খুলনা যাওয়ার উপায় হবে ১২ টি। ঢাকা থেকে ফরিদপুরে যাবার প্রথম রাস্তা ব্যবহার করে সম্পূর্ণ ট্রিপটি চার ভাবে করা যায়। নীচের ছবিতে মোটা দাগ দিয়ে তা দেখানো হলো।
ঢাকা থেকে ফরিদপুরে যাবার যেহেতু মোট তিনটি রাস্তা আছে, কাজেই ঢাকা থেকে খুলনা যাবার সর্বমোট সম্ভাব্য রাস্তার সংখ্যা হলো ৩ গুণ ৪ বা ১২।
কতগুলো উপাদানকে নিজেদের মধ্যে বিন্যস্ত করার উপায়ঃ
The concept of Factorial
ফ্যাকটোরিয়াল হলো কোন সংখ্যাকে তার নিচে ১ পর্যন্ত যত সংখ্যা আছে সবগুলো দিয়ে প্রাপ্ত গুণফল। ফ্যাকটোরিয়ালকে সংখ্যার ডান পাশে একটি বিস্ময় চিহ্ন (!) যুক্ত করে বা বামে খাড়া ও নীচে লম্বা দাগ টেনে প্রকাশ করা হয়।
[latex]6[latex]!
[latex]6*5*4*3*2*1=720[latex]
The term “[latex]n[latex] factorial” ([latex]n[latex]!) refers to the product of all the positive integers from [latex]1[latex] through n, inclusive:
[latex]n[latex]! = [latex](n)(n-l)(n-2)[latex] … [latex](3)(2)(1)[latex].
You should learn the factorials through [latex]6[latex]!:
[latex]1[latex]! = [latex]1[latex] [latex]4[latex]! = [latex]4*3*2*1=24[latex]
[latex]2[latex]! = [latex]2*1=2[latex] [latex]5[latex]! = [latex]5*4*3*2*1=120[latex]
[latex]3[latex]! = [latex]3*2*1=6[latex] [latex]6[latex]! = [latex]6*5*4*3*2*1=720[latex]
ফ্যাকটোরিয়ালের প্রয়োগ হয় এরকম সবচেয়ে কমন ধরণের প্রশ্ন হলো, চারটি চেয়ারে চারজন অতিথি কত ভাবে বসতে পারেন; আবার ৫ বন্ধু পাশাপাশি দাঁড়িয়ে কতটি গ্রুপ ছবি তুলতে পারেন। প্রথম প্রশ্নের উত্তর হলো ৪! বা ২৪ এবং দ্বিতীয়টির উত্তর হলো ৫! বা ১২০ ভাবে।
Look at this question below:
In staging a house, a real-estate agent must place six different books on a bookshelf. In how many different orders can she arrange the books?
Using the Fundamental Counting Principle, we see that we have 6 choices for the book that goes first, 5 choices for the book that goes next, and so forth. Ultimately, we have this total:
[latex]6[latex]!=[latex]6*5*4*3*2*1=720[latex] different orders.
Anagrams
An anagram is a rearrangement of the letters in a word or phrase. (Puzzle enthusiasts require the rearrangement itself to be a meaningful word or phrase, but we are also going to include rearrangements that are total nonsense.) For instance, the word DEDUCTIONS is an anagram of DISCOUNTED, এবং এর অক্ষরগুলোকে এলোমেলো ভাবে বসিয়ে প্রাপ্ত আরেকটি শব্দ হলো CDDEINOSTU.
Now that you know about factorials, you can easily count the anagrams of a simple word with [latex]n[latex] distinct letters: simply compute [latex]n[latex]! ([latex]n[latex] factorial).
How many different anagrams (meaningful or nonsense) are possible for the word IBA?
Since there are [latex]3[latex] distinct letters in the word IBA, there are [latex]3[latex]!=[latex]6[latex] anagrams of the word (IBA, IAB, BIA, BAI, AIB এবং ABI)
সূত্রঃ যদি একই উপাদান বা অক্ষর একাধিকবার আসে সেক্ষেত্রে মোট উপাদানের সংখ্যার ফ্যাকটোরিয়ালকে একাধিকবার আসা উপাদানের সংখ্যার ফ্যাকটোরিয়াল দিয়ে ভাগ করতে হবে।
How many different anagrams (meaningful or nonsense) are possible for the word PIZZAZZ?
শব্দটিতে সাতটি অক্ষর আছে। ৭ এর ফ্যাকটোরিয়াল হলো ৫০৪০। কিন্তু এর মধ্যে একই জেড বর্ণটি আছে ৪ টি। কাজেই অনেকগুলো বিন্যাসেই দেখা যাবে যে একই পুনরাবৃত্তি ঘটেছে। যদি আমরা প্রকৃত বিন্যাস সংখ্যা বের করতে চাই তাহলে এই ৪ এর ফ্যাকটোরিয়াল সংখ্যাটি দিয়ে ৭ এর ফ্যাকটোরিয়ালকে ভাগ দিতে হবে।
সুতরাং উত্তর হবে
[latex]7!/4!=(7*6*5*4*3*2*1)/(4*3*2*1)=7*6*5=210[latex] (ans)
সূত্রঃ যদি একাধিক উপাদান একাধিকবার আসে তাহলে প্রত্যেকের ফ্যাক্টরিয়ালের গুণফল দিয়ে মূল ফ্যাকটোরিয়াল সংখ্যাটিকে ভাগ করতে হবে।
উদাহরণ স্বরূপ, ATLANTA শব্দটিতে A এসেছে ৩ বার, আর T দুইবার, কাজেই ATLANTA শব্দটির অক্ষরগুলো দ্বারা সম্ভাব্য বিন্যাসের সংখ্যা হলোঃ
[latex]7!/3!2!=(7*6*5*4*3*2*1)/(3*2*1)*(2*1)=420[latex] (ans)
সূত্রঃ যদি [latex]n[latex] সংখ্যক আইটেম থেকে [latex]r[latex] সংখ্যক আইটেম কত প্রকারে বাছাই করা যায়, (যারা নিজেদের মধ্যে বিন্যস্ত হতে পারে) তাহলে বাছাই সংখ্যা হবে [latex]nPr[latex] যার মান হলো [latex]n[latex]!/[latex](n-r)[latex]!
যেমন, ৬ টা ভিন্ন ভিন্ন ডিজিট দিয়ে কতগুলো ৪-অঙ্কের সংখ্যা তৈরী করা যাবে? এখানে আমরা লিখবোঃ
[latex]6P4=(6*5*4*3*2*1)/(2*1)=360[latex] (ans)
বিশেষ কেসঃ ”আঁঠা লাগানো চেয়ার”
অনেক সময় এমন হয় যে, (উদাহরণ হিসাবে) ৭ জন স্টুডেন্টকে ৭ টি চেয়ারে এমন ভাবে বসানো হয় যেন মনিটরের চেয়ারে কেবল প্রথম স্টুডেন্টই বসতে পারে। এসব ক্ষেত্রে ওই একজন স্টুডেন্ট (বা একটি আইটেম) কে বাদ দিয়ে বাকীদেরকে ফ্যাকটোরিয়াল করতে হয়।
আবার যদি এমন হয় যে, উদাহরণ স্বরূপ, অইওউঊ শব্দটির তিনটি ভাওয়েলকে ওই তিনটি ঘরেই রাখতে হবে, সেক্ষেত্রে মোট বিন্যাস সংখ্যা বের করার জন্যে আগে তিনটি ঘরে তিনটি ভাওয়েল রাখার উপায় সংখ্যা (ফ্যাকটোরিয়াল তিন) কে দুইটি ঘরে দুইটি কনসোন্যান্ট রাখার সংখ্যা (ফ্যাকটোরিয়াল দুই) দিয়ে গুণ করতে হবে।
