[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (2) Algebra বিভাগের অধীনে 〈5〉Inequality চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈2.5.a〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]
〈2.5.a〉অসমতা বিষয়ক আলোচনা
Equations এর ক্ষেত্রে দুইটি ভিন্ন রাশির মধ্যে সমতা চিহ্ন (=) ব্যবহৃত হয়। এর পর সেখানে কোন variable থাকলে তার মান আমরা বের করি। inequalities এর ক্ষেত্রে সমতা চিহ্ন ব্যবহৃত হয় না, কিন্তু বৃহত্তর (greater than) বা ক্ষুদ্রতর (smaller than) এ ধরণের শর্ত উলেখ করে দেওয়া থাকে যার সাহায্যে আমরা অজানা রাশির মান বের করতে পারি। Inequalities ধরণের অঙ্কতে চার ধরণের চিহ্ন ব্যবহৃত হতে পারে, যার প্রত্যেকটা সম্পর্কে আমাদের পরিষ্কার ধারণা থাকা চাই।
উপরের প্রতিটি ছবিতে ৪ সংখ্যাটির কাছে ছোট একটি তীর চিহ্ন দেখানো হয়েছে। প্রথম ছবিতে [latex]x<4[latex] দিয়ে বোঝায় যে, [latex]x[latex] এর মান [latex]4[latex] এর ছোট যে কোন সংখ্যা, কিন্তু [latex]4[latex] হতে পারবে না। এ কারণে [latex]4[latex] বরাবর বৃত্তটিকে সাদা রাখা হয়েছে। দ্বিতীয় ছবিতে [latex]x[latex]≤[latex]4[latex] দিয়ে বোঝানো হয়েছে যে, [latex]x[latex] এর মান [latex]4[latex] হতে পারে, আবার [latex]4[latex] এর ছোট যে কোন সংখ্যাও হতে পারে। পরের দুটি ছবি একই ধরণের কিন্তু বিপরীত তথ্য প্রকাশ করে।
Number lines, such as those shown above, are an excellent way to visualize exactly what a given inequality means.
Inequalities ধরণের সম্পর্কের ক্ষেত্রে কি কি করা যায়, যেগুলো equations এ-ও করা যায়?
| একই ধরণের সংখ্যা উভয় পাশে যোগ করা যায়। যেমন, উদাহরণে আমরা উভয় পাশে ২ যোগ করেছি। | Given x – 5 < 9 => x – 5 + 2 < 9 + 2 => x – 3 < 11 |
| একই ধরণের সংখ্যা উভয় পাশে বিয়োগ করা যায়। যেমন, উদাহরণে আমরা উভয় পাশে ৩ বিয়োগ করেছি। | Given x – 5 < 9 => x – 5 – 3 < 9 – 3 => x – 8 < 6 |
| একই ধরণের ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে উভয় পাশকে গুণ করা যায়। যেমন, উদাহরণে আমরা উভয় পাশকে ২ দিয়ে গুণ করেছি। (সতর্কতাঃ নেগেটিভ দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে চিহ্ন উল্টে যায়) | Given x > 7 => 2x > 14 |
| একই ধরণের ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে উভয় পাশকে ভাগ করা যায়। যেমন, উদাহরণে আমরা উভয় পাশকে ২ দিয়ে ভাগ করেছি। (সতর্কতাঃ নেগেটিভ দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে চিহ্ন উল্টে যায়) | Given x < 8 => x/2 < 4 |
জেনেে রাখুনঃ নেগেটিভ দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে চিহ্ন উল্টে যায়। নীচের উদাহরণ দেখা যাক। আবার, উভয় পাশকে উল্টে দিলে (flip করলে) চিহ্নটিও উল্টাতে হবে।
যেমন, [latex]\frac { a }{ b }>3[latex] কে আমরা লিখতে পারি [latex]\frac { b }{ a }<\frac { 1 }{ 3 }[latex]; অর্থাৎ উভয় পাশ আমরা উল্টে দিলাম, কিন্তু সম্পর্ক সঠিক রাখার স্বার্থে গ্রেটার দ্যান সাইনটাকেও উল্টে দিয়ে স্মলার দ্যান সাইন ব্যবহার করতে হলো।
Given [latex]x<8[latex], let us multiply it with [latex]-2[latex] => [latex]x*(-2)>8*(-2)[latex] [The “<” sign becomes “>”]
একটা ব্যবহারিক উদাহরণ দিয়ে বিষয়টা বোঝার চেষ্টা করুন। [latex]2[latex] সংখ্যাটি [latex]4[latex] অপেক্ষা ছোট। এবার উভয় সংখ্যাকে [latex]-1[latex] দিয়ে গুণ করুন। ফলে পাওয়া গেল [latex]-2[latex] এবং [latex]-4[latex]। লক্ষ করুন, [latex]-2[latex] সংখ্যাটি কিন্তু [latex]-4[latex] সংখ্যার চেয়ে ছোট নয়, বরং বড়।
Likewise,
Given [latex]x<8[latex], let us divide it with [latex]-2[latex] => [latex]x/(-2)>8/(-2)[latex] [The “<” sign becomes “>”]
এই বিশেষ নিয়মটি মনে রাখতে হবেঃ you cannot multiply or divide an inequality by a variable, unless you know the sign of the number that the variable stands for. The reason is that you would not know whether to flip the inequality sign.
অনেক প্রশ্নের মধ্যে একাধিক inequality চিহ্ন ব্যবহৃত হয়। To solve such problems, you may need to convert several inequalities to a compound inequality which is a series of inequalities strung together, such as [latex]2<3<4[latex]. To convert multiple inequalities to a compound inequality, first line up the variables, then combine. নীচের উদাহরণটি দেখুনঃ
If [latex]x>8, x<17[latex], and [latex]x+5<19[latex], what is the range of possible values for [latex]x[latex]?
এই প্রশ্নটি সমাধান করতে গিয়ে আমরা লিখতে পারি, দ্বিতীয় অংশ থেকে, [latex]x<14[latex];
[latex]x, 17[latex] -র চেয়ে ছোট। এই তথ্যটি অবশ্য আমাদের দরকার নেই, কারণ [latex]14[latex] ’র ছোট যে কোন কিছু অবশ্যই [latex]17[latex] ’র ছোট হবে। একদম প্রথম তথ্যের দিকে তাকালে দেখা যায়, [latex]x,8[latex] এর বড়। সুতরাং, প্রথম ও শেষ দুটি তথ্যের সাহায্যে আমরা একটা রেঞ্জ বের করে ফেলতে পারবো। আমরা বলতে পারি, [latex]x[latex] হবে [latex]8[latex] এর বড় কিন্তু [latex]14[latex] এর ছোট। এই বক্তব্যটি এভাবে লেখা যায়ঃ
[latex]8<x<14[latex] (Ans.)
Given that [latex]u<t, b>r, f<t[latex], and [latex]r>t[latex], is [latex]b>u[latex]?
Solve: Combine the [latex]4[latex] given inequalities by simplifying and lining up the common variables.
Simplify the list: [latex]u<t, r<b, f<t[latex], and [latex]t<r[latex].
Then, line up the variables …
[latex]u<t[latex]
[latex]r<b[latex]
[latex]f<t[latex]
[latex]t<r[latex]
… and combine.
[latex]u<t<r<b[latex]
[latex]f<t[latex]
মনে রাখবেন, এ ধরণের ক্ষেত্রে it is not always possible to combine all the inequalities যেমনটা এই উদাহরণে আমরা দেখতে পেলাম। আমাদের কাছে এমন কোন তথ্য নেই, যার সাহায্যে [latex]f<t[latex] সম্পর্কটিকে বাদ বাকীদের মধ্যে আমরা বসাতে পারি। কাজেই [latex]f<t[latex] কে আলাদা রাখা হয়েছে। We do know that both [latex]u[latex] and [latex]f[latex] are less than [latex]t[latex], but we do not know the relationship between [latex]u[latex] and [latex]f[latex].
We can see from our combination that the answer to the question is YES: [latex]b[latex] is greater than [latex]u[latex].
Manipulating Compound Inequalities
Sometimes a problem with compound inequalities will require you to manipulate the inequalities in order to solve the problem. You can perform operations on a compound inequality as long as you remember to perform those operations on every term in the inequality, not just the outside terms. For example:
INEQUAUTIES STRATEGY
If [latex]1>1-ab>0[latex], which of the following must be true? I. [latex]a/b>0[latex] II. [latex]a/b<1[latex] III. [latex]ab<1[latex]
(A) I only
(B) II only
(C) III only
(D) I and II only
(E) I and III only
We can manipulate the original compound inequality as follows, making sure to perform each manipulation on every term:
[latex]1>1-ab>0[latex] [আমাদের দেওয়া আছে]
[latex]0>-ab>-1[latex] [উভয় পাশ থেকে ১ বিয়োগ করা হলো]
[latex]0<ab<1[latex] [উভয় পক্ষকে -১ দিয়ে গুণ করা হলো, চিহ্ন উল্টে গেল]
সুতরাং আমরা দেখতে পাচ্ছি, [latex]ab[latex] যেহেতু [latex]0[latex] এর চেয়ে বড়, কাজেই এটা পজেটিভ। অর্থাৎ [latex]a/b[latex] ও পজেটিভ হবে, যার অর্থ এদের উভয়ের চিহ্ন একই হবে (উভয়েই পজেটিভ বা উভয়েই নেগেটিভ)। সুতরাং উপরের ও সত্য।
আমরা II সম্পর্কে কোন ধারণা করতে পারিনা, কারণ পর্যাপ্ত তথ্য নেই।
কিন্তু [latex]0<ab<1[latex] সম্পর্ক থেকে পরিষ্কার দেখা যাচ্ছে যে [latex]ab<1[latex] । কাজেই III ও সত্য।
সুতরাং উত্তর হলো [latex]I[latex] ও [latex]III[latex] সত্য কিন্তু [latex]II[latex] নয়।
Inequalities With Ranges
Whenever a question asks about the possible range of values for a problem, consider using extreme values:
Given that [latex]0[latex]≤[latex]x[latex]≤[latex]3[latex] and [latex]y<8[latex], which of the following could NOT be the value of [latex]xy[latex]?
(A) [latex]0[latex]
(B) [latex]8[latex]
(C) [latex]12[latex]
(D) [latex]16[latex]
(E) [latex]24[latex]
To solve this problem, consider the EXTREME VALUES of each variable.
(Since [latex]y[latex] cannot be [latex]8[latex], we term this upper limit “less than [latex]8[latex]” or “[latex]LT8[latex]” for shorthand.)
What is the lowest value for [latex]xy[latex]?
Plug in the lowest values for both [latex]x[latex] and [latex]y[latex]. In this problem, [latex]y[latex] has no lower limit, so there is no lower limit to [latex]xy[latex].
What is the highest value for [latex]xy[latex]?
Plug in the highest values for both [latex]x[latex] and [latex]y[latex]. In this problem, the highest value for [latex]x[latex] is [latex]3[latex], and the highest value for [latex]y[latex] is [latex]LT8[latex].
Multiplying these two extremes together yields: [latex]3*LT8=LT24[latex]. সুতরাং সর্বোচ্চ মান হলো [latex]24[latex] এর চেয়ে কম যে কোন সংখ্যা (যেমন [latex]23.9999[latex]… ইত্যাদি), কিন্তু কিছুতেই [latex]24[latex] নয়। কাজেই, প্রশ্নে জানতে চেয়েছে কোনটি হতে পারে না, সঠিক উত্তর হবে [latex]24(E)[latex]।
কুইজঃ যদি এখানে [latex]x[latex] এর নিম্ন সীমা [latex]0[latex] বলে দেওয়া না থাকতো তাহলে কি অংকটির উত্তর বের করা যেত?
হিন্টসঃ দুইটি নেগেটিভের গুণফল পজেটিভ হয়। দুইটি বড় বড় নেগেটিভ সংখ্যার গুণফল অনেক বড় পজেটিভ একটি সংখ্যা হয়।
নীচের আলোচনাটি শুধুমাত্র অ্যাডভান্সড স্টুডেন্টদের জন্যে।
Inequalities With Equations
Whenever a problem contains both inequalities and equations, extreme values can help you substitute values from one to the other: If [latex]2h+k<8[latex], [latex]g+3h=15[latex], and [latex]k=4[latex], then what is the possible range of values for [latex]g[latex]?
First, we can simplify the inequality by plugging [latex]4[latex] in for [latex]k[latex] to simplify the inequality:[latex]2h+4<8[latex] [latex]2h<4 h<2[latex]
Now, we can use extreme values to combine the inequality with the equation. If we think of h < 2 in terms of extreme values, then h = LT2. We can plug this extreme value into the equation and solve for go
[latex]g+3h=15[latex] [latex]g=15-LT6[latex]
[latex]g+3(LT2)=15[latex]
[latex]g=GT(9)[latex]
[latex]g+LT6=15[latex]
[latex]g>9[latex] (Ans.)
[latex]15[latex] থেকে [latex]GT(9)[latex] বিয়েগ করে যা পাওয়া যাবে তা অবশ্যই [latex]9[latex] এর চেয়ে বড় হবে, একারণে আমরা [latex]g=GT(9)[latex] লিখেছি এবং সেখান থেকে অসমতার সম্পর্ক [latex]g>9[latex] বের করেছি।
Inequalities
Just like equations involving even exponents, inequality problems involving even exponents require you to consider two scenarios. Consider this example
If [latex]{ x }^{ 2 }<4[latex], what are the possible values for [latex]x[latex]?
To solve this problem, recall that [latex]\sqrt { { x }^{ 2 } }=[latex] |[latex]x[latex]|.
For example, [latex]\sqrt { { 3 }^{ 2 } }=3[latex], and [latex]\sqrt { { -5 }^{ 2 } }=5[latex]|
Therefore, when we take the square root of both sides of the inequality, we get:
[latex]\sqrt { { x }^{ 2 } }<\sqrt { 4 } [latex]
or, |[latex]x[latex]|[latex]<2[latex]
If [latex]x[latex] is positive, then [latex]x<2[latex]. On the other hand, if [latex]x[latex] is negative, then [latex]x>-2[latex].
