[নোটঃ এই আর্টিকেলটি (6) Counting and Probability বিভাগের অধীনে 〈2〉Probability চ্যাপ্টারের অন্তর্গত, যা 〈6.2.a〉চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়েছে]
〈6.2.a〉সম্ভব্যতা
Probability is a quantity that expresses the chance, or likelihood, of an event. In other words, it measures how often an event will occur in a long series of repeated trials.
For events with countable outcomes, probability is defined as the following fraction:
[latex]Probability=\frac { number\quad of\quad desired\quad or\quad successful\quad outcomes }{ total\quad number\quad of\quad possible\quad outcomes }[latex]
একটা সাধারণ উদাহরণ দিয়ে বোঝানো যাক।
লুডুর গুটির ছয়টি তল আছে: ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬। গুটি ছুড়লে ৫ পাওয়ার সম্ভাবনা হবে ১/৬, কারণ এদের মধ্যে ৫ আছে মাত্র একটি, এবং মোট তলের সংখ্যা হলো ছয়। যদি জানতে চাওয়া হয় গুটি ছুড়লে একটি প্রাইম নাম্বার পাওয়ার probability কত, তাহলে উত্তর হবে ৩/৬, কেননা মোট ছয়টি নাম্বারের মধ্যে ২, ৩ ও ৫ এই তিনটি সংখ্যা হলো প্রাইম নাম্বার।
In some problems, you will have to think carefully about how to break a situation down into equally likely outcomes. Consider the following problem:
If a fair coin is tossed three times, what is the probability that it will turn up heads exactly twice?
এ ধরণের সিচুয়েশনে আমরা ছবির সাহায্যে বিষয়টা বোঝার চেষ্টা করবো। ছবিটি দেখুন।
আমাদের বের করতে হবে হেড ঠিক দুইবার উঠেছে কতগুলো ক্ষেত্রে (তীর চিহ্ন দেওয়া)। তিনবার হলেও হবে না (সবার উপরেরটা)। তাহলে দেখা যাচ্ছে যে, মোট আটটি ঘটনা সম্ভব। এর মধ্যে থেকে successful বা desired ঘটনা হলো ৩ টি। কাজেই, probability হবে ৩/৮ (উত্তর)।
“[latex]1[latex]” is the Greatest Probability
The greatest probability-the certainty that an event will occur-is [latex]1[latex]. Thus, a probability of [latex]1[latex] means that the event must occur. For example:
The probability that you roll a fair die once, and it lands on a number less than seven, is certain, or [latex]1[latex].
As a percent, this certainty is expressed as [latex]100[latex]%.
More than One Event: “AND” vs. “OR”
Probability problems that deal with multiple events usually involve two operations: multiplication and addition. The key to understanding probability is to understand when you must multiply and when you must add.
কখন গুণ করবোঃ
ধরা যাক, [latex]X[latex] এবং [latex]Y[latex] হলো independent events, যারা স্বাধীনভাবে ঘটে (কেউ কারো উপরে নির্ভরশীল নয়)। যদি আমাদের বের করতে হয় যে [latex]X[latex] এবং [latex]Y[latex] উভয়ই ঘটবে, তখন তাদের আলাদা আলাদা ঘটার probability কে গুণ করে সম্পূর্ণ ঘটনাটি ঘটার probability বের করতে হবে।
What is the probability that a fair coin flipped twice will land on heads both times?
This is an ”AND” problem, because it is asking for the probability that the coin will land on heads on the first flip AND on the second flip. The probability that the coin will land on heads on the first flip is [latex]1/2[latex]. The probability that the coin will land on heads on the second flip is again [latex]1/2[latex].
কাজেই, পর পর দুই বার হেড ওঠার probability হবে [latex]1/2*1/2=1/4[latex]
কখন যোগ করবোঃ
ধরা যাক, [latex]X[latex] এবং [latex]Y[latex] হলো mutually exclusive events, যারা এক অপরের উপর নির্ভরশীল ভাবে ঘটে (একটি ঘটার পরে অন্যটা ঘটতে পারে না)। যদি আমাদের বের করতে হয় যে [latex]X[latex] এবং [latex]Y[latex] উভয়ই ঘটবে, তখন তাদের আলাদা আলাদা ঘটার probability কে যোগ করে সম্পূর্ণ ঘটনাটি ঘটার probability বের করতে হবে।
What is the probability that a fair die rolled once will land on either [latex]4[latex] or [latex]5[latex]?
This is an “OR” problem, because it is asking for the probability that the die will land on either [latex]4[latex] or [latex]5[latex]. The probability that the die will land on 4 is 1/6. The probability that the die will land on [latex]5[latex] is [latex]1/6[latex]. The two outcomes are mutually exclusive: the die cannot land on BOTH [latex]4[latex] and [latex]5[latex] at the same time.
Therefore, the probability that the die will land on either [latex]4[latex] or [latex]5[latex] is: [latex]1/6+1/6=1/3[latex] (Ans.)
The Domino Effect
Sometimes the outcome of the first event will affect the probability of a subsequent event. বিশেষতঃ থলের মধ্যে থেকে একটার পর একটা রঙিন মার্বেল তোলার অঙ্কগুলো এ জাতীয় সূত্রে ফেলে করতে হয়। তবে শর্ত হলো, প্রথমে যে মার্বেলটি তোলা হলো, সেটাকে আর থলেতে ফেরত দেওয়া হবে না। অর্থাৎ, ধরা যাক, ৪ টি স্বতন্ত্র মার্বেল ছিল, প্রথমটি তোলার সময় মোট মার্বেলের সংখ্যা চার থাকলেও দ্বিতীয়টি তোলার সময় মোট মার্বেলের সংখ্যা কমে ৩ হবে।
For example:
In a box with 10 blocks, [latex]3[latex] of which are red, what is the probability of picking out a red block on each of your first two tries? Assume that you do NOT replace the first block after you have picked it.
Since this is an “AND” problem, we must find the probability of both events and multiply them together. Consider how easy it is to make the following mistake:
You compute the probability of picking a red block on your first pick as [latex]3/10[latex]. You compute the probability of picking a red block on your second pick as [latex]3/10[latex]. কাজেই, এই ভাবে অঙ্ক করে আপনার হিসাবকৃত #প্রোব. হবে [latex]3/10*3/10[latex] যার মান [latex]9/100[latex]। এই অঙ্কটি ভুল!
প্রথম লাল বকটি তোলার #প্রোব ঠিক আছে, ৩/১০। কিন্তু একটি বক তুলে বাইরে রেখে দেবার পরে ওই বক্সের মধ্যে লাল বক কমে হলো দুইটি, আর সর্বমোট বকও দশ থেকে কমে নয় হলো। এ কারণে দ্বিতীয় চিত্রটা হবে ৩/১০ নয়, বরং ২/৯। এবার এই দুই #প্রোব. গুণ করলেই সঠিক উত্তর পাওয়া যাবে।
একই সময়ে ঘটা ঘটনার মধ্যেও দুইটি আলাদা ঘটনা থাকতে পারেঃ অঙ্কটি পড়ুন।
Renee has a bag of [latex]6[latex] candies, [latex]4[latex] of which are sweet and [latex]2[latex] of which are sour. Jack picks two candies simultaneously and at random. What is the chance that exactly 1 of the candies he has picked is sour?
আপনি বিষয়টাকে ভালো করে (সিনেমায় স্লো মোশনে যেভাবে দেখায়, সেভাবে দেখার কল্পনা করুন) দেখলে দেখবেন যে, আসলে একটা পিক করার পরে দ্বিতীয়টা পিক করছে, এবং দুইটা ক্যান্ডি হাতের মধ্যে পুরে নিয়ে ওই ব্যাগ থেকে হাত বের করে আনছে।
Jack has a [latex]2/6[latex] chance of picking a sour candy first and a [latex]4/6[latex] chance of picking a sweet candy first. Note that these probabilities add to [latex]1[latex]. On the second set of branches, put the probabilities AS IF Jack has already made his first pick. অঙ্কটি করার জন্যে আমাদের এভাবে অগ্রসর হতে হবে, প্রথম দশাঃ যদি টক ক্যান্ডি আগে তোলা হয়; দ্বিতীয় দশাঃ যদি মিষ্টি ক্যান্ডি আগে তোলা হয়।
